— 1145 — 



Для дальнѣйшихъ приложеній важно теперь же замѣтить, что если 

 вообще нужно различать вещественные эллипсы отъ мнимыхъ, то ради по- 

 ставленныхъ нами теперь цѣлей это различіе не играетъ роли. Въ самомъ 

 дѣлѣ, коренное различіе состоитъ въ отношеніи полюсовъ и поляръ: при 

 переходѣ отъ вещественнаго къ мнимому эллипсу полюсъ нужно замѣнить 

 діаметрально противоположною точкою; но вполнѣ очевидно, что въ отно- 

 шеніи инволюціи лучей, для которой эллипсъ служить выразителемъ, это 

 различіе не играетъ никакой роли: лучи при такой перемѣнѣ сохраняются 

 тождественно. 



Конечно, то же относится и къ мнимому кругу. 



Инволюція эллипсоида. 



. Теперь мы можемъ расширить понятіе объ инволюціи. 



Подобно тому, какъ эллипсъ можетъ быть замѣненъ парою мнимыхъ 

 двойныхъ лучей, такъ эллипсоидъ можетъ быть замѣненъ мнимымъ квадра- 

 тпчнымъ конусомъ. Въ самомъ дѣлѣ, пересѣчемъ эллипсоидъ произвольною 

 центральною плоскостью, и тогда получимъ въ ней эллипсъ, вполнѣ опредѣ- 

 ляющій въ этой плоскости инволющю лучей, согласно вышесказанному. Но 

 этой же плоскости въ эллипсоидѣ сопряженъ опредѣ ленный діаметръ. Если 

 пересѣчемъ всю систему произвольною плоскостью, то получимъ въ иослѣдней 

 коррелятивность между прямою пересѣченія плоскости и точкою пересѣ- 

 ченія сопряженнаго діаметра, а на каждой прямой получимъ инволюцію 

 паръ точекъ, изъ коихъ одна есть полюсъ, а другая лежитъ на полярѣ. 



Всѣмъ этимъ условіямъ удовлетворяетъ полярная система (инволюція) 

 на плоскости, и только она одна; она же, въ свою очередь, опредѣляется одною 

 единственною конопримою, вещественною или мнимою. Такая же коноприма 

 есть однако не что иное какъ пересѣченіе нѣкотораго квадратичнаго конуса, 

 которая такимъ образомъ и замѣняетъ въ разсматриваемомъ случаѣ эллип- 

 соидъ. Что этотъ конусъ не можетъ быть вещественнымъ, слѣдуетъ уже 

 изъ того, что никакое сѣченіе эллипсоида не можетъ быть гиперболою (въ 

 частности параболою). 



Итакъ, полярная система, опредѣляющая инволюцію на всякой прямой 

 въ плоскости, то есть инволюція въ этой плоскости, есть система, определяе- 

 мая однимъ единственнымъ мнимымъ эллипсомъ, представляющимъ сѣченіе 

 нѣкотораго мнимаго конуса, соотвѣтствующаго данному эллипсоиду. 



Ради опредѣленности, примемъ за плоскость чертежа плоскость, парал- 

 лельную большой и малой оси эллипсоида (то есть плоскости оптическихъ осей) 



И. А. Н. 1917. 8 °* 



