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Elementen bestehenden Complexe eine zweifach ausgedehnte Mannigfaltig- 

 keit. Da nur die Richtung, nicht die absolute Lage von Krystallflächen 

 und Zonenaxen bestimmt ist, so kann man sich den Complex der Krystall- 

 flächen als ein Ebenenbündel vorstellen, dessen Schnittgeraden dem Com- 

 plex der Zonenaxen entsprechen. Jede Fläche erscheint als Träger eines 

 Büschels von Zonenaxen , jede Zonenaxe als Träger eines Büschels von 

 Flächen. Diese, in dem Gesetz der Zonen enthaltene Beziehung zwischen 

 Krystallflächen und Zonenaxen kann durch den Satz ausgesprochen werden: 

 „die an einem Krystall möglichen zweifachen Mannigfaltig- 

 keiten der Flächen und der Zonenaxen stehen sich duali- 

 stisch gegenüber". Die Auffassung, nach welcher die Krystallflächen 

 als Punktgebilde betrachtet wurden, führte zu dem Übelstande, dass der 

 zwischen Krystallflächen und Zonenaxen herrschende Dualismus eines 

 vollkommen entsprechenden analytischen Ausdrucks entbehrte. Eine 

 Krystallfläche wurde durch eine Gleichung dargestellt; eine Zonenaxe 

 erforderte zwei Gleichungen. Deshalb entsteht für eine analytisch-geo- 

 metrische Behandlung der Krystallographie die Aufgabe: Krystallflächen 

 und Zonenaxen als selbständige Elemente einzuführen und die Gleichung 

 einer Fläche in Zonenaxen-Coordinaten, die Gleichung einer Zonenaxe in 

 Flächen-Coordinaten zu Grunde zu legen. Dem zwischen diesen Gebilden 

 bestehenden Dualismus wird eine entsprechende Darstellung zu Theil, 

 wenn mit Hülfe gut gewählter Flächen-Coordinaten u t , u 2 , u 3 und Zonen- 

 axen-Coordinaten £ t , £ 2 , £ 3 eine in den ui, £i (i = 1, 2, 3) symmetri- 

 sche lineare Gleichung : u i E i -\- u 2 <E 2 + u 3 £ 3 = aufgestellt wird, welche, 

 je nachdem man das eine oder das andere in ihr auftretende Grössen- 

 system als constant betrachtet, die allgemeine Gleichung einer 

 Fläche oder Zonenaxe darstellt, und welche erfüllt sein muss, 

 wenn die Fläche u die Zonenaxe £ enthalten soll. Liebisch führt nun in 

 seiner vorliegenden Arbeit auf gründlichste Weise aus, in wie naher Be- 

 ziehung diese Coordinaten zu den Parametern und den Indices stehen, 

 und dass die Vortheile einer analytischen Entwickelung der geometrischen 

 Verhältnisse der Krystalle nicht an die Einführung von Punkt-Coordinaten 

 gebunden erscheinen. 



A. Arzruni: über den Einfluss der Temperatur auf die 

 Brechungsexponenten der natürlichen Sulfate des Baryum, 

 Strontium und Blei. (Zeitschr. f. Krystallographie etc. I, 2.) — Die 

 Beziehungen zwischen Lichtgeschwindigkeit, Ausdehnung durch die Wärme, 

 Änderung des Brechungsexponenten mit der Temperatur wurden zeither 

 nur wenig erforscht. Von um so grösserem Interesse war es daher, die 

 bekannten Fälle durch Untersuchung an anderen, doppelt brechenden 

 Krystallen zu vermehren, indem nur ein grösseres Beobachtungsmaterial 

 über etwaige Gesetzmässigkeiten Aufschluss zu geben vermag. Auch lag 

 es nahe zu ermitteln, ob die Änderung der Brechungsexponenten eine sich 

 gleichbleibende, oder ob sie eine von der Temperatur, bei welcher die 



