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deren jeder im Allgemeinen einem besonderen 48-Flächner 



— : - : a angehört. Die beiden zusammengehörigen Dreikantner 



müssen der Gestalt nach genau mathematisch congruent, aher um 

 die trigonale Axe, die sie gemeinschaftlich haben, um 60° gegen 

 einander verdreht sein. Der eine der beiden gehört einer Reihe 



a a 



von Achtundvierzigflächnern - : - : a an, welche die Pyrami- 

 denkanten der Pyramidenoctaeder zuschärfen und für welche die 

 Beziehung: p + 1 >» 2v gilt, der andere einer zweiten Reihe, 

 deren Glieder die gebrochenen Würfelkanten der Leucitoide zu- 

 schärfen, und für die also die Beziehung p -f- 1 < 2v gilt, wie 

 sich leicht beweisen lässt. Zwischen beiden Reihen zieht sich 

 die Reihe von jenen Dreikantnern durch, welche gleichwinklige 

 Endkanten haben, in deren Formel also ^ -f- 1 den Grenzwerth 

 2v hat. Jede der beiden Reihen beginnt mit der trigonalen End- 

 fläche als unendlich stumpfem Dreikantner, und endigt mit einer 

 Anzahl von unendlich spitzen Dreikantnern, d. h. 6 -f 6-kanti- 

 gen Säulen, von denen aber je eine der einen Reihe mit einer 

 der andern zusammenfällt. Eine solche Säule ist nichts anderes 

 als der vierte Dreikantner eines 48-Flächners, in dessen allge- 

 meiner Formel — : - : a die Gleichung gilt \l == v -j- 1 ; solche 



48-FIächner haben bekanntlich die Eigenschaft, die Kanten der 

 Granatoeder zuzuschärfen und heissen Pyramiden-Granatoeder. 

 Zwischen hinein fallen die Dreikantner der Pyramidenwürfel (mit 



a a 



Ausnahme des ersten Dreikantners des Pyramidenwürfels — : 

 : a), die Dreikantner der Leucitoide (mit Ausnahme des Leuci- 

 toids j : a : a), die Dreikantner der Pyramidenoctaeder und der 



Achtundvierzigflächner (mit Ausnahme der oben genannten ersten, 

 zweiten und dritten Dreikantner von Achtundvierzigflächnern, für 

 welche p = 2v — 1). 



Für die Zusammengehörigkeit zweier Dreikantner von Acht- 

 undvierzigflächnern, denen die Formeln — : - : a und — : — : a 



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