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Rationalität dieser Ausdrücke bewiesen ist. Dies sind die drei Formen 

 des kryst. Grundgesetzes, welche mit den von Gauss gewählten Ausdrücken 

 auch dem Wortlaute nach übereinstimmen, wenn, wie der Verf. zeigt, 

 die identische Gleichung hinzugenommen wird: 



sin (102) sin (304) ___ sin (103) sin (204) 



sin (203) sin (401) ~~ sin (203) sin (401) ' 



II. Unter dem GAuss'schen Nachlasse befinden sich ferner mehrere 

 Theoreme, welche die Anwendung der Zahlentheorie auf die Krystallo- 

 graphie enthalten (s. auch Gauss, Bd. II, p. 188). Die Fundamentalsätze, 

 auf welchen diese Anwendung beruht sind folgende: 



1) Sind E ±1 £ 2 , £ 3 die geradlinigen Coordinaten eines Punktes P im. 

 Räume, bezogen auf drei Coordinatenaxen , die mit einander die Winkel 

 bilden: a (zwischen E 2 und £ 3 ), ß (zwischen £ 3 und E t ), y (zwischen 

 E ± und £ 2 ), so i st das Quadrat der Entfernung des Punktes P vom An- 

 fangspunkte der Coordinaten: 



(1) r 2 =£ 1 2 +£ 2 2 4-£ 3 2 4-2£ 2 £ 3 cosa+ 2£ 3 £ 1 cos ß + 2£ 1 £ 2 cosy. 

 Setzt man: 



b 



2) E x = x"y/a E 2 E 3 cos a = yzb, so dass sind cos a = /——, 



y a a 



- b / 

 E 2 — yY&' £ 3 E x cos ß = zxb' cos ß = 



E z = z v a" E x E 2 cos y — xyb" cos y = , — r 



y a a 



wenn a, a', a", b, b', b" Constanten bedeuten, so wird: 

 (la) r 2 = ax 2 + a'y 2 -+- &"z 2 -h 2byz + 2b'zx -+- 2b"xy, 

 d. i. gleich einer „ternären quadratischen Form" nach der Bezeichnung 

 der Zahlentheorie (Gauss, I. 300). Lässt man nun in (2) die Grössen 

 x, y, z, alle möglichen ganzzahligen Werthe durchlaufen, so erhält man 

 eine unendliche Anzahl von Punkten im Räume, und diese sind offenbar 

 parallelepipedisch angeordnet ; die Kanten aller dieser Parallelepipede 

 bilden mit einander die Winkel a, ß, y ; die Seiten des kleinsten derselben 

 sind y'a, yV, yV', und das Quadrat des Rauminhalts dieses kleinsten 

 „Elementarparallelepipeds" ist gleich der Grösse 



D = aa'a" + 2bb'b" — abb — a'b'b' — a"b"b". 

 Die 6 Constanten a, a', a", b, b', b", bestimmen also eine solche An- 

 ordnung von Punkten vollständig, oder mit anderen Worten, die ternäre 



(a a' a" \ 

 bb'b'V-' ^ ann 



Präsentant eines bestimmten parallelepipedisch geordneten Systems von 

 Punkten angesehen werden. 



2) Da aber umgekehrt bei einem gegebenen Systeme von Punkten 

 mehrere in ihren 6 Constanten verschiedene ternäre Formen als Repräsen- 

 tanten des Systems gewählt werden können (was abhängt von der Aus- 

 wahl derjenigen 8 Punkte, durch deren geradlinige Verbindung das Ele- 



