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Sl = cos 2 (x l5 x 2 ) -j- cos 2 (x 2 , x 3 ) -{- cos 2 (x 3 , xj— 2 cos (x l5 x 2 ) cos (x 2 , x 3 ) COS (Xg^i) 

 sin 2 (x 1 ,x 2 ) cos 2 (E, v 3 ) + sin 2 (x 2 ,x 3 ) cos 2 {B,v ± ) -f sin 2 (x^) cos 2 (£,v 2 ) 

 v-v \ +2 sin (x 1? x 2 ) sin (x 1? x 3 ) cos (x 2 ,x 3 ) cos (£, v 2 ) cos (£,v 3 ) 

 / -h 2 sin (x 2 , x 3 ) sin (x 3 , x A ) cos (x^xj cos (£, v 3 ) cos (£, v ± ) 

 * + 2 sin (x 3 , x A ) sin (x 1? x 2 ) cos (x 1 ,x 2 ) cos cos (£,v 2 )> 

 welche für den speciellen Fall rechtwinkeliger Coordinaten, d. h. für: 



TC TT- 7t 



(X 1? X 2 ) = ~2 5 ( x 2i x 3) — ~2 5 ( X 3? x i) — ~2~ 



in die bekanntere: 



1 = cos 2 (E,x 1 ) -f cos 2 (£,x 2 ) + cos 2 (E,x 3 ) 



übergeht. 



Denkt man sich nun ausser der Ebene u noch drei andere Ebenen 

 u i> ll 2? ll 37 welche gegen u um die Winkel: a, resp. /3', resp. y geneigt sind, 

 und zu u in Bezug auf die Coordinatenebenen symmetrisch liegen, d. h. so 

 liegen, dass eine jede Coordinatenebene den Nebenwinkel zu resp. a, /i, y 

 halbirt, so wird sein: 



Winkel : u, u l 



u, «3 



oder : 



(II) cos — sin ha ; cos (£,r 2 ) = siu |/3 ; cos (c : v 3 ) = sin 



Nach Einsetzung dieser Werthe in (I) erhalten wir also eine Relation 

 zwischen a, ß, y. Für die einfachen Krystallformen der verschiedenen 

 Systeme ergeben sich nun folgende Formeln: 



Reguläres System, 

 a) Hexakisoctaeder : Alle Flächen liegen symmetrisch zu drei Ebenen, 

 deren Schnittlinien zu Coordinatenachsen gewählt werden, und durch die 

 Gleichungen : 



COS 2 (x 1? X 2 ) = A ; COS 2 (x 2 , X 3 ) == | ; COS 2 (x,, X 4 ) = J 



ihrer Richtung nach bestimmt sind. Bezeichnet man dann mit a, /?, y die 

 Flächenwinkel der Ebenen , welche resp. in den kürzeren , längeren und 

 mittleren Kanten zusammentreffen, so erhält man aus (I) nach Einsetzung 

 von (II) die Relation zwischen den Flächenwinkeln: 



1 = 2 sin 2 £a -j- 4 sin 2 ±ß + 3 sin 2 %y 

 H- 4 V 2 sin £ ß sin %y -+- 2 sin £ y sin ^ a -}- 4 sin £ a sin £ 

 (Diese Formel findet sich schon bei: 



Müller: Ergänzungen zur Kry stallometrie des regulären 

 Systems. Programm. Wiesbaden. (Ohne Jahreszahl.) Nach Angabe des 

 Verf.) 



