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aus den Daten der drei ersten Flächen und den Ax enschn it- 

 ten der vierten ableiten. 



Verfasser betrachtet danach die soeben erhaltenen Formeln in spe- 

 cialen Fällen, zeigt wie die als „Bas als atz" und „Tangentensatz" 

 bekannten Problerne sich als besondere Fälle des hier entwickelten all- 

 gemeineren ergeben und schliesst ein praktisches Beispiel, vom Anorthit 

 entlehnt, zur Demonstration an. 



Die entsprechenden Darlegungen über die Beziehungen der Winkel 

 zwischen vier Kanten in einer Fläche werden dann unter Zugrundelegung 

 der Vorstellungen einer Linearprojection erbracht. 



In der dritten Abhandlung wird endlich gezeigt, wie mit Hülfe dieser 

 Relationen eine allgemeine und, was den Zahlenaufwand anlangt, verein- 

 fachte Berechnung der triklinen Krystalle erreicht werden kann. Die Rech- 

 nung wird hierbei ausschliesslich zonenweise unter Zugrundelegung einer 

 MiLLER'schen Protection geführt. 



Zum Zwecke der Berechnung der Normalenbögen ausge- 

 gebenen Elementen und Symbolen werden als allgemeine Vorbereitung fünf 

 Zonengleichungen und zwar drei derselben direct aus den Elementen ab- 

 geleitet; von diesen fünf Zonengleichungen dienen immer drei dazu, die 

 Gleichung für eine beliebige Zone zu finden. Bezüglich des Details muss 

 auf die Abhandlung selbst verwiesen werden. 



Was die Berechnung des Symbols einer Fläche anlangt, so 

 werden besonders die complicirteren Fälle betrachtet, in denen: 



1. Die unbekannte Fläche in bekannter Zone liegt und eine gemessene 

 Neigung zu einer bekannten, nicht in dieser Zone belegenen Fläche ge- 

 geben ist. 



2. Die unbekannte Fläche aus den gemessenen Neigungen mit zwei 

 bekannten Flächen, in deren Zone sie nicht liegt, zu berechnen ist. 



Der allgemeine Gang der Rechnung wird gegeben und darauf hin- 

 gewiesen, wie das zu erhaltende Resultat zu deuten ist. 



In Bezug auf die Berechnung der Elemente der Krystall- 

 gattung sind, wie bekannt, fünf Unbekannte zu bestimmen. Dieselben 

 setzen fünf von einander unabhängige Winkelmessungen zwischen symbo- 

 lisirten Flächen voraus. 



Bezüglich dieser hebt Verfasser hervor, wie ihre Symbole theils will- 

 kürlich wählbar , zum Theil den Forderungen des allgemeinen Zonen- 

 verbandes unterworfen sind und präcisirt die Forderungen desselben. 



Er untersucht dann die Combinationen, in denen die Berechnung der 

 Elemente gelingt und unterscheidet 3 Hauptgruppen : 



1. Die Fundamentalbögen liegen zwischen fünf Flächen, von denen 

 vier zu je zwei mit der fünften in zwei Zonen liegen; gemessen sind die 

 zweimal zwei Bögen in den dreiflächigen Zonen und ausserdem ein fünfter 

 von der einen Zone zur anderen. — Die Fundamentalbögen bestimmen hier 

 unzweideutig die Elemente. 



2. Die Fundamentalbögen liegen zwischen vier Flächen, welche nicht 

 zu dreien in einer Zone liegen, fünf der zwischen ihnen möglichen sechs 



