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aßy, ßya, yaß, ßay, ayß, yßa, 

 aßy, ßya, yä~ß , ßay, äyß, yßa, 

 aßy, ßya, yaß, ßay, ayß, yßa, 

 aßy, ßyTc, yaß, ßay, ayß, yßa, 

 aßy, ßya, yaß, ßay, äyß, yßa, 

 aßy, ßya, yaß, ßay, ayß, yßa, 

 a~ßy, ßya, yaß, ßay, ayß, yßa, 

 aßy, ßya, yaß, ßay, ayß, yßa. 

 1. die cyclische Vertauschung von a, ß, y, mit 

 der eine cyclische Vertauschung von ä, ß, y verbunden ist, mit K; 2. die 

 Vertauschungen von ß und ß, y und y mit A, von y und y, a und a 

 mit B, von « und a, ß und ß mit C; 3. die Vertauschugen von a und ß, 

 a und ß mit H; endlich 4. die Vertauschungen von a und a, ß und ß, 

 y und y mit D, was durch die Symbole: 



K = (a, ß, y) {ä, ß, y) 

 A = iß, ß) (y, y), B = (y, y) (a, «), C = («, ä) p, ß) 

 D = (a, 7c) (ß, ß) (y, y) 

 H = (a, ß) («, ß) 



angedeutet werden soll, so erhält man für das vorstehende System von 

 48 Vertauschungen, also auch für die 48 Flächen eines Hexakisoktaeders, 

 folgende Bezeichnungen : 



1. 



1 



K 



K 2 



H 



KH 



K 2 H 



2. 



D 



KD 



K 2 D 



HD 



KHD 



K 2 HD 



3. 



A 



KA 



K 2 A 



HA 



KHA 



K 2 H A 



4. 



B 



KB 



K 2 B 



HB 



KHB 



K 2 HB 



5. 



C 



KC 



K 2 C 



HC 



KHC 



K 2 HC 



6. 



DA 



KD A 



K 2 DA 



HD A 



KHD A 



K 2 HDA 



7. 



DB 



KDB 



K 2 DB 



HDB 



KHDB 



K 2 HDB 



8. 



DC 



KD C 



K 2 DC 



HD C 



KHD C 



K 2 HDC 



Aus diesen Symbolen sind die Operationen ersichtlich, welche man 

 auszuführen hat, um das Hexakisoktaeder mit sich selbst zur Deckung zu 

 bringen, derart, dass die Ausgangsfläche {«, ß, 7} in die Lage übergehe, 

 welche ursprünglich irgend eine der 47 anderen Flächen einnahm. 



Es bedeutet nämlich die der Kürze wegen mit K bezeichnete Sub- 

 stitution das Vorhandensein einer gegen die Coordinatenaxen gleich ge- 

 neigten 3-zähligeii Symmetrie axe ; die Substitutionen A, B, C haben die 

 Bedeutung, dass die Coordinatenaxen geradzahlige Symmetrieaxen sind; 

 D zeigt das Vorhandensein eines Centrums der Symmetrie an ; H bedeutet, 

 dass die Verbindungsebene einer 3-zähligen Symmetrieaxe mit einer der 

 Coordinatenaxen eine Symmetrieebene ist. Hieraus sind die geometrischen 

 Bedeutungen der aus K, A, B, C, D, H zusammengesetzten Substitutionen 

 leicht zu entnehmen. Die vorstehende Tabelle enthält alle Substitutionen 

 der Gruppe: 



1. vorn-rechts-oben : 



2. hinten-links-unten : 



3. vorn-links-unten : 



4. hinten-rechts-unten : 



5. hinten-links-oben : 



6. hinten-rechts-oben : 



7. vorn-links-oben : 



8. vorn-rechts-unten : 

 Bezeichnet man nun: 



