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G = { K, A, B, C, D, H } 



Demnach sind die Symmetrieeigenschaften eines Hexakisoktaeders. 

 oder, was auf dasselbe hinauskommt, der holoedrischen Abtheilung des re- 

 gulären Systems durch diese Gruppe der 48. Ordnung charakterisirt, Die 

 verschiedenen Abtheilungen des regulären, tetragonalen, rhombischen und 

 monoklinen Krystallsystems und das trikline System entsprechen, wie der 

 Verf. ausführlich darlegt, ebensovielen Untergruppen von G. Im kexa- 

 gonalen System tritt neben den Substitutionen K, D, H noch die Substitution 



Q — ■(«," y, ß, y, ß') • 



auf, worin: 



«'=-* + A + 



ß' = i (« 4- ß + r) - ß 



Y *= 1 (« 4-> + r) - r 



gesetzt ist ; sie weist auf eine 6-zählige, gegen die Coordinatenaxen gleich- 

 geneigte Symmetrieaxe hin. Die Darstellung der Symmetrieeigenschaften 

 dieses Systems mit Benutzung des 4-axigen BßAVAis'schen Coordinaten- 

 systems ist der Gegenstand der dritten Abhandlung. 



Von besonderem Interesse sind die Definitionen, welche der Verf. von 

 den Symmetrieaxe n giebt. (S. 199—205, 375, 377.) Geht durch eine 

 Drehung um eine n-zählige Symmetrieaxe, deren Eichtungscosinusse X, ^t, v 



sind, um den charakteristischen Drehungswinkel ^ die Gerade { a, ß, y, J 



über in { ß', y' }, so ist : 



a 1 = X cos (p f 1 — cos — I -i - cc cos — -f- a (ßp — y/x) 

 ^ J = ( u COS (/) f 1 — cos — j -(- /S cos — 4- <r (yA — «p) 



, / H 27T \ . 271, , 



y' = v cos f 1 — cos — J -f- y COS — -4- (7 («// — ^A) 



worin den Winkel zwischen der Geraden und der Axe bedeutet und 



o = + sin ^ gesetzt ist. Das doppelte Vorzeichen von a entspricht den 



beiden Drehungsrichtungen. Bezeichnet man diese Drehung mit S, so erhält 

 man aus j «, ß, y J die n — 1 gleichberechtigten Geraden durch die Drehungen: 

 S, S 2 , . . . Sa— i. Dazu tritt Sn = 1. Aus diesen allgemeinen Eelationen 

 sind leicht die Beziehungen zu entnehmen, welche für die krystallographisch 

 allein möglichen 2-, 3-, 4- und 6-zähligen Symmetrieaxen gelten. — Zwei 

 in Bezug auf eine Ebene, deren Normale die Eichtungscosinusse A, ( u, v 

 besitzt, symmetrische Eichtungen { a , ß, y\ und { ß', y* J stehen in 

 der Beziehung, dass : 



a' == a — 2X («A + ßu -\-yv) 



ß' = ß — % t u («A + ßi u + Y v ) 

 y' — y — 2p (eil -j- ßfX -\- yv) 



ist. — Unter den einseitigen Symmetrieaxen, welche nicht polar sind, unter- 



