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scheidet der Verf. mit Recht zwei Arten. Zu der ersten Art gehören jene, 

 welche auf einer Symmetrieebene senkrecht stehen, wie die Hauptaxen der 

 pjTamidal-hemie'drischen Formen des hexagonalen und tetragonalen Systems. 

 Als einseitig von der zweiten Art bezeichnet der Verf. ungeradzählige 

 Symmetrieaxen centrisch-symmetrischer Krystalle ; dahin gehören die 3-zäh- 

 ligen Symmetrieaxen der pentagonal-hemiedrischeii Krystalle des regulären 

 Systems und der rhomboedrisch-tetartoedrischen Krystalle des hexagonalen 

 Systems. Charakteristisch für diese Krystalle ist, dass bei ihnen in sich., 

 gewendete Flächengruppen an Formen auftreten, die selbst nicht in sich 

 gewendet sind, was zuerst Ton Marbach 1855 erkannt worden ist. 



Die gruppentheoretische Darstellung der Sjmimetrieeigenschaften der 

 Krystalle ist mannigfacher Anwendungen fähig, wie der Verf. an einem 

 interessanten Beispiel darlegt, indem er zeigt, dass man aus dem Werthe, 

 den in der GREEN'schen Theorie der Elasticität der Krystalle das Potential 

 der elastischen Kräfte für die triklinen Krystalle besitzt, die für höher 

 symmetrische Krystalle geltenden Werthe fast ohne Aufwand von Rechnung 

 ableiten kann. Dabei findet er, dass in dieser so vielfach und neuerlichst 

 insbesondere von TV Voigt und Aron bearbeiteten Lehre eine Gruppe von 

 Fällen bisher vollständig übersehen worden ist. Th. Liebisch. 



Felix Klein: Vorlesungen über das Ikosaeder und die 

 Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. Mit einer 

 Tafel. Leipzig 1884. 260 S. 



Das erste Kapitel dieses Werkes trägt die Überschrift „Die regulären 

 Körper und die Gruppentheorie" und ist zur Einführung in die gruppen- 

 theoretische Behandlung der Symmetrieeigenschaften vorzüglich geeignet. 

 Der Verf. erläutert zunächst gewisse allgemeine Begriffe der Gruppentheorie, 

 — wobei hervorgehoben wird, dass die Drehungen, welche einen regulären 

 Körper mit sich selbst zur Deckung bringen, in ihrer Gesammtheit eine 

 Gruppe bilden, während die Spiegelungen, vermöge deren ein regulärer 

 Körper in sich verwandelt wird, für sich genommen keine Gruppe ergeben. — 

 und wendet sich dann zur näheren Betrachtung der cyclischen Rotations- 

 gruppen, der Gruppe der Diederdrehungen, der Vierergruppe und der Grup- 

 pen der Tetraeder-, Oktaeder- und Ikosaederdrehungen. Darauf werden 

 die Symmetrieebenen der regulären Körper und die durch sie vermittelten 

 Kugeltheilungen besehriehen. Durch Verbindung der Drehungen mit den 

 Spiegelungen an den Symmetrieebenen entstehen erweiterte Gruppen. [Die 

 aus 48 Operationen bestehende erweiterte Oktaedergruppe ist es. welche 

 Minnigerode in der ersten der oben angeführten Abhandlungen zum Aus- 

 gangspunkte gewählt hat.] Endlich werden für jede Gruppe geeignete er- 

 zeugende Operationen angegeben, d. h. Operationen, aus denen durch Wieder- 

 holung und Combination die jedesmalige Gruppe entsteht. Das Verständ- 

 niss dieser Erzeugung wird erleichtert durch die beigegebene stereogra- 

 phische Projection der Kugeltheilung in 120 abwechselnd congruente und 

 symmetrische Dreiecke, welche durch die 15 Symmetrieebenen des Ikosa- 

 eders bewirkt wird. Th. Liebisch. 



