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B. Hecht, Ueber den Beweis des Satzes 



reichlich 30 qmm erscheinen. Dies günstige Resultat ist erreicht ohne 

 Prismenvergrösserung. 



Sodann ist dem Dichroskop statt der kleinen Objectkappe ein mit 

 Federklammern versehener drehbarer Objecttisch von 60 mm Durchmesser 

 (der Leichtigkeit wegen aus Aluminium gefertigt) hinzugefügt; ebenso 

 auch noch ein mit Zahlen versehener, von 5 zu 5 Graden getheilter Ring, 

 mit dem Prismenrohr fest verbunden, welchem eine Strichmarke auf der 

 Hülse des Objecttisches gegenübersteht, um die Winkelwerthe der stärksten 

 Farbenunterschiede annähernd bestimmen zu können. 



Das neue Dichroskop ist trotz der genannten Hinzufügungen von 

 ungewöhnlicher Leichtigkeit, kaum 65 g an Gewicht. Der Preis desselben 

 beträgt 18 Mark. 



Ueber den Beweis des Satzes von der Rationalität einer drei- 

 zähligen Symmetrieaxe. 



Von B. Hecht. 



Königsberg i. Pr., Juli 1895. 

 Aus dem Grundgesetz der geometrischen Krystallographie , dessen 

 verschiedene Formen (Zonengesetz, Gesetz der rationalen Axenschnitte etc.) 

 sich bekanntlich aus einer derselben herleiten lassen, lassen sich über 

 Symmetrieaxen folgende beiden Sätze ableiten: 



1. Krystallographisch möglich sind nur 2-, 3-, 4- oder 6 zählige Sym- 

 metrieaxen 1 . 



2. Eine geradzählige Symmetrieaxe ist immer mögliche Krystallkante 

 und die auf ihr senkrechte Ebene mögliche Krystallfläche. 



Es liegt nun sehr nahe, anzunehmen, dass der zweite Satz auch für 

 die einzig mögliche uugeradzählige Symmetrieaxe, also die dreizählige, 

 Gültigkeit hat (zumal er in der That bei allen Krystallen richtig ist) und 

 sich auf rein mathematischem Wege (hier liegt der Fehler) nach- 

 weisen lassen muss. Die letztere Annahme erschien allen Krystaliographen 

 so selbstverständlich, dass sie nur über die Art der Beweise uneinig 

 waren, einen Zweifel an ihrer Richtigkeit aber für ausgeschlossen 

 hielten und, wie ich in letzter Zeit mehrfach erfahren habe, theilweise 

 noch halten. 



Gadolin 2 hat zwar richtig gefunden : Les axes ä coi'ncidence de 120° 

 clifferent des axes ä coi'ncidence d'autres especes en ce qu'ils ne sont pas 

 necessairement des axes cristallographiques possibles. Er ist aber so über- 

 zeugt, dass sich die Rationalität mathematisch beweisen lassen müsse, 

 dass er den irrationalen Fall durch folgenden Zusatz ausschliesst : II faut 

 remarquer qu'au contraire l'existence de tels axes de 120° est ineompatible 

 avec une loi cristallographique jusqu'ici sans exception connue; nous par- 



1 Beweis ohne Benützung des zweiten Satzes unter anderen : A. Ga- 

 dolin, Acta soc. scient. fennic. Helsingfors. 9. 6—8. (§ 3. 4.) 1871. — 

 B. Hecht, Nachr. Königl. Ges. d. Wiss. Göttingen. 1892. 246. 



2 A. Gadolin, 1. c. pag. 48—51 (§ 28-30). 



