von der Rationalität einer dreizähligen Symmetrieaxe. 249 



Ions de la loi de la rationalite des rapports des tangentes des angles 

 formes entre les faces de la ineme zöne. En effet l'existence de cette loi 

 est liee ä la rationalite des rapports des produits formes par deux para- 

 metres chacun sur Tun des axes de coordonnees, des sinus des angles que 

 ces axes font avec le troisieme axe, et du cosinus de Pangle que forment 

 les plans de coordonnees qui se coupent dans ce troisieme axe u. s. w. 

 Das soeben angeführte Gesetz existirt bekanntlich nicht l . Es würden aus 

 demselben unter anderem zwei Relationen folgen, die zwischen den Axen- 

 winkeln und Axeneinheiten beim triklinen System bestehen müssten. 



Soweit mir bekannt, versuchen die übrigen Krystallographen in den 

 veröffentlichten Beweisen die Rationalität der dreizähligen Symmetrieaxe 

 mathematisch aus dem Grundgesetz zu beweisen. 



Im Gegensatze hierzu habe ich 2 nachgewiesen, „dass es Krystall- 

 flächencomplexe mit rationalen Indices und mit einer 

 dreizähligen Symmetrieaxe S giebt von der Beschaffen- 

 heit, dass unter den Flächen des Complexes die zu jener 

 Symmetrieaxe senkrecht stehende Ebene nicht auftritt." 

 Ich betone, dass es sich nicht um Krystalle, sondern um Flächen- 

 complexe handelt, die nach dem Grundgesetz der geometrischen Kry- 

 stallographie abgeleitet sind. 



Ferner habe ich (dies. Jahrb. 1894. I. 278) gezeigt, dass der Beweis, 

 den Herr v. Fedorow für die Rationalität der dreizähligen Symmetrieaxe 

 giebt, falsch ist und dass man bei richtiger Beweisführung zu dem Satze 

 kommt: „Im Allgemeinen ist die dreizählige Symmetrieaxe 

 keine mögliche Ery stallkante. a Natürlich ist auch hier nur von 

 den oben definirten Flächencomplexen die Rede. Der Beweisführung habe 

 ich auch nach der Erwiderung des Herrn v. Fedorow 3 Nichts hinzu- 

 zufügen. Da indessen die Entscheidung über diese Frage für Fernerstehende 

 durch die Bestimmtheit, mit welcher Behauptung gegen Behauptung ge- 

 stellt wird, erschwert werden kann, will ich noch einen ausführlichen 

 elementaren Beweis geben, der sich im Wesentlichen an Gadolin anschliesst. 

 Da der Beweis für die Fläche anschaulicher zu führen ist als für die Kante, 

 so will ich den Satz in folgender Form aussprechen: Krystallf lächen- 

 complexe mit einer dreizähligen Symmetrieaxe enthalten 

 im Allgemeinen die zur Symmetrieaxe senkrechte Ebene 

 nicht als Fläche. 



Voraussetzung 1 : Krystallflächen und Krystallkanten sind nur 

 ihrer Richtung nach völlig bestimmt. 



Voraussetzung 2 : Alle Flächen, welche von den krystallographischen 

 Axen Stücke abschneiden, die sich wie ma : nb : pc verhalten, worin 

 a, b und c die Axeneinheiten und m, n und p rationale Zahlen sind, alle 



1 V. von Lang, Sitzungsber. Wien. Akad. 41. 525. 1860. — Th. Lie- 

 bisch, Zeitschr. deutsch, geol. Ges. 29. 527. 1877. 



2 B. Hecht, Nachr. Königl. Ges. d. Wiss. Göttingen. 1892. 245. 



3 E. von Fedorow, Zeitschr. f. Kryst. etc. 24. 605—610. 1895. 



