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B. Hecht, Ueber den Beweis des Satzes 



diese Flächen bilden einen Krystallflächencomplex (Grundgesetz der geo- 

 metrischen Krystallographie). 



Voraussetzung 3 : Die Gerade S sei für einen Krystallflächencomplex 

 eine dreizählige Symmetrieaxe , d. h. wenn man den Complex um S um 

 120° dreht, so ist jede Fläche in ihrer neuen Lage parallel zu einer Fläche 

 des Complexes in der alten Lage. 



Behauptung : Die Ebene, welche auf S senkrecht steht, ist im All- 

 gemeinen nicht als Fläche in dem Krystallflächencomplex enthalten. Nur bei 

 Erfüllung einer bestimmten Bedingung ist dieselbe in dem Complex vorhanden. 



Beweis (der besseren Übersicht wegen sollen die einzelnen Abschnitte 

 des Beweises numerirt werden): 



1. Eine Krystallkante X werde durch Drehung des Complexes um S 

 um 120° resp. 240° parallel zu der Kante Y resp. Z. Ich verschiebe die 

 Kanten X, Y und Z parallel mit sich selbst, bis sie durch einen Punkt 

 der Geraden S, durch 0, hindurchgehen. Dann ist 



Diese Kanten X, Y und Z wähle ich als krystallographische Axen und 

 eine beliebige Fläche F des Complexes als Einheitsebene. Sie schneide 

 von den Axen die Stücke a, b und c ab. 



2. Drehe ich nun den Complex um S um 120°, so schneidet die 

 Fläche F von der Axe X das Stück c, von Y das Stück a und von Z das 

 Stück b ab. Die Fläche F muss jetzt (nach Vor. 3) parallel zu einer 

 Fläche des Complexes in der ursprünglichen Lage sein. Ihre Axenab schnitte 

 müssen sich also (nach Vor. 2) wie n^a : n x b : p x c verhalten, worin m,, 

 n, und p x rationale Zahlen sind. Um die Axenabschnitte selbst zu be- 

 stimmen, muss ich zu den Verhältnisszahlen noch einen Proportionalitäts- 

 factor 1 fj hinzufügen, der vorläufig unbestimmt ist. Die Abschnitte werden 

 dann gleich f^a, resp. ^n,b, resp. fjPjC. Da sie andererseits gleich 

 c, resp. a, resp. b sind, erhalte ich: 



f, ist also die dritte Wurzel aus einer rationalen Grösse, die ich 1/e, 

 nenne. Im Allgemeinen ist fj demnach irrational. Dasselbe gilt für s v 

 4. Erhebt man immer eine der obigen drei Gleichungen ins Quadrat 

 und dividirt durch das Product der beiden anderen Gleichungen, so er- 

 geben sich die neuen Gleichungen: 



<£ SX = <£ SY = SZ, 

 yz = 4: ZX = <£ XY. 



c = f j m, a, a = fj n x b, b = f, p x c. 

 3. Durch Multiplication dieser Gleichungen erhält man: 

 1 = f 1 3 m 1 n x Pl 



m 1 Pj a- 



, 3 ■= n^b 3 , m 1 n t b 3 = 



p^c 3 , lijp, c 3 = m^a 3 . 



1 Herr de SouzA-BnANDao hat diesen Proportionalitätsfactor bei der 

 Correctur meines Beweises übersehen. Zeitschr. f. Kryst. etc. 23. 254. 

 Zeile 13—16. 1894. 



