von der Bationalität einer dreizähligen Symmetrieaxe. 



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5. Aus diesen Gleichungen folgt die Proportion: 



a 3 . ^3 . c s _ 1]i 2p i . mj Pj a . mi 2 n : 



oder : 



a s : b 3 : c 3 = n^p, 3 : m, n, p x 4 : m^ 2 ^ 2 



a 3 :b s :c 3 = VPi 3:e iPi 3 : e i 2 

 a : b : c = n : pj : ^€, : «, 2 . 



Hierin sind n, und Pj rational und «, die dritte Wurzel einer ratio- 

 nalen Grösse, im Allgemeinen also irrational. Mit vereinfachter Bezeich- 

 nung erhalten wir also als Bedingung dafür, dass ausser der 

 Fläche F die zu ihr symmetrische Fläche vorhanden ist, 

 die Proportion 



a : b : c = « : ß e : y e 2 = « : ß y e : y y e 2 . 



Hierin sind «, ß, y und e rational, e im Allgemeinen irrational. 



6. Es soll nun gezeigt werden, dass, wenn diese Bedingung erfüllt 

 ist, zu jeder beliebigen Fläche des Complexes die symmetrische 

 Fläche vorhanden ist, dass also dann S wirklich dreizählige Symmetrieaxe 

 ist. Eine beliebige Fläche schneide von den Axen die Stücke ma, nb 

 und pc ab. Die symmetrische Fläche schneidet von denselben Axen die 

 Stücke pc, ma und nb ab. Es ist also zu beweisen, dass die Verhältnisse 



p c . m a n b 

 a " b ' c 

 rational sind. Nun ist aber nach (5) : 



c ye z a a b ß 



a « ' b . c ye' 



Die obigen Verhältnisse nehmen also die Werthe an : 



p yf 2 m a n ß ' „ , " 



— — : : — - = p^v 2 « 3 : m« 2 r : naß 2 , 



und sind demnach rational. 



7. Kommt nun in dem Krystallflächencomplex, der durch die Kanten 

 X, Y und Z und durch die Einheitsfläche F mit den Axenabschnitten 

 a : b : c = a : ßt : y e 2 bestimmt ist und welcher, wie gezeigt, S als drei- 

 zählige Symmetrieaxe hat, die auf S senkrechte Ebene als Fläche vor ? — 

 eventuell unter welcher Bedingung ? Die in Eede stehende Fläche schneidet 

 von deu drei Axen gleiche Stücke ab. Ihre Ableitungszahlen seien m, n 

 und p; dann müsste 



m« = nße = p>'£ 2 

 und folglich s rational und e die dritte Potenz einer rationalen Grösse 

 sein. Hält man die Axen X, Y und Z fest, so kommt die Ebene nur in 

 dem einen Complexe vor , in welchem a : b : c die Verhältnisse rationaler 

 Zahlen sind. Im Allgemeinen, z. B. in dem Complex für e = 2, oder in 

 dem für e = f etc. kommt die Fläche nicht in dem Complexe vor. 



Zusatz : Obwohl im Vorstehenden der Beweis vollständig erledigt 

 ist, will ich, um die Sache noch etwas klarer zu stellen, folgendes Punkt- 



