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B. Hecht. Ueber den Beweis des Satzes etc. 



System betrachten; auf einer von drei geraden Linien, die sich in einem 

 Punkte schneiden und die mit einander gleiche Winkel bilden, nehme ich, 

 vom Schnittpunkt ausgehend, Punkte an, die immer um r von einander 

 entfernt sind. Auf der zweiten betrage die Entfernung zweier Punkte r y/2 

 und auf der dritten r y^4. Von diesen Punkten ausgehend, habe man ein 

 Raumgitter construirt. Dann sind bekanntlich alle und nur solche Flächen 

 als Krystallflächen möglich, welche drei Punkte in sich enthalten (Gesetz 

 der rationalen Axenschnitte). Die Flächen dieses Raumgitters bilden einen 

 Complex, der eine dreizählige Symnietrieaxe besitzt. 



Der Fläche mit den Axenabschnitten r, r \/2 , r y / 4 entspricht nach 

 der Drehung um 120° um die Symmetrieaxe die Fläche mit den Abschnit- 

 ten rv / 4, r, rv / 2, resp. 2r, r'V / 4 und nach Drehung um 240° 

 die Fläche mit den Abschnitten r\^2, rV^4, r, resp. 2r, 2v\^2, rv^L 

 Analog lässt sich für jede Fläche die Existenz der symmetrischen Flächen 

 zeigen. 



Kann dieses Raumgitter seine Eigenschaft bewahren, auch wenn die 

 Temperatur sich ändert? Dieses kann nur der Fall sein, wenn die Linien, 

 von denen wir ausgingen, auch nach der Temperaturänderung gleiche 

 Winkel mit einander bilden und die Entfernungen der Punkte auf den 

 drei Geraden mit A, ^^x, r\/x 2 multiplicirt erscheinen. Dieselben wer- 

 den dann gleich Ar, ^r\^2x, vy\^(2x) 2 und erfüllen die noth wendige 

 Bedingung, wenn A, /u, v und x rationale Zahlen sind. 



Handelt es sich aber um einen Krystall und nicht um einen 

 Flächencomplex, so muss S auch für die physikalischen Eigenschaften 

 Symmetrieaxe sein. Es müssen also A = j a = r, x = l, und die Aus- 

 dehnungscoefficienten in den drei Richtungen einander gleich sein. Die 

 letztere Bedingung kann aber wohl nur erfüllt werden, wenn die Punkte 

 auf den drei Linien auch gleich weit von einander entfernt sind. Dadurch 

 würden wir also aus physikalischen Gründen zu der Annahme ge- 

 führt werden , dass auf den drei Kanten , von denen wir ausgingen , die 

 Axeneinheiten a, b und c einander gleich sein müssen. Aus dem Grund- 

 gesetz der geometrischen Kry stallogr aphie diese Bedingung 

 herzuleiten, wie es Herr de SouzA-BitANDäo will, ist unmöglich. Es soll 

 durch die letzten Bemerkungen nur angedeutet werden, dass der Satz von 

 der Rationalität der dreizähligen Symmetrieaxe natürlich richtig ist, wenn 

 man die physikalischen Verhältnisse berücksichtigt. Es ist mir auch nie- 

 mals eingefallen, das Gegentheil zu behaupten. Will man aber nur das 

 Grundgesetz der geometrischen Krystallographie benutzen, so ist der 

 Satz falsch. 



