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Quoique il ne seroit pas impossible de satisfaire aux equations (23) et 

 (31) dans d'autres cas que ceux, que nous avons consideres jusqu'a pre- 

 sent, il faut pourtant renoncer a l'idee de les enumerer tous. On doit se 

 contenter den avoir fait connaitre ceux, qui par leur simplicity sont les 

 plus remarquables. C'est pourquoi nous ne nous en occuperons point d a- 

 vantage, ne connaissant pas d'autres cas simples, dans lesquels ces equa- 

 tions sont traitables. 



xvin. 



La dependance mutuelle des equations (17) et (23) peut encore se faire voir 

 d une autre maniere, qu'ii n' est pas sans interet de connaitre. Supposons en ef- 

 fet, que (17) devienne integrable par un facteur, qui donne l'integrale suivante 



sy' 1 + My'y + Ny 2 = Constante 

 s , M et N etant des fonctions inconnues de x , qu'il s'agit de determiner. 

 La differentiation donne 



y" {isy' \ My) + y'* (/ + M) + y'y (M' + 2 N) + N'y* = o 



Puisque l'equation (17) multipliee avec son facteur doit coincider avec 

 cette equation-ci, on doit commencer par leur donner le meme coefficient 

 de y". Cela fait voir que le facteur cherche doit etre 



2sy'-\- My 



En effectuant la multiplication on obtient 



y "(^/+%) + -^yH - J1 Z J * yy +-^-y 2 = 



*/ 3 •/ 3 •/ 3 



Cette equation devant etre identique avec la precedente donne les ega- 

 lites suivantes 



s' -J- M = ^l£l 



A 



M' + 2N=^£ + & M 



A As 



N' =fl M 



A 



L' elimination de M et N donne ensuite 



o =fts"'-ZAAs» + {/aCi/, -5^) +/ 2 (5/ 3 '+ */,)}*'+ 



2 {MX- A) + *A(A+A) +/ A ~A(*A +/.) - ^ fl J^ } * 



d ou en fesant 



on obtient l'equation (23) . 



s = Q . e J J* 



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