La premiere condition d'integrabilite trouvee clans ce numero-ci pourra 

 etre exprimee corame suit. Une quelconque des nume'rateurs 0(«) , 0(/3) ou 

 ®(y) joint e a une quelconque des ratines de la caracteristique doit fore un nom- 

 bre entier positif on ne'gattf (settlement excepte = t).. II est a regretter 

 qu'on ne saurait exprimer 1' autre equation de condition, resultante de l'eli- 

 mation, dans des termes egalement generaux. 



IX. 



Les cas d'integrabilite, que nous avons analyses jusq'ici, supposent 

 tous, comme vous venons de voir, deux conditions necessaires, pour que 

 Integration reussira. Nous allons maintenant discuter d'autres cas, qui 

 n'entrent pas dans les precedents, quoique ils supposent en effet quatre 

 conditions. Mais comme cela ne les empeche pas de jouir d'une certaine 

 simplicite, ils semblent meriter toute attention possible. 



Designons en general une quelconque des equations (1), (6), (9) et 

 (I I) par 



/ 3 y" + / a y + /iy =o ........ (47) 



et faisons la transformation 



y = Pu , dx = t] . dt 



t etant la nouvelle variable independante , P et r\ des fontions inconnues 

 de x, qu'il s'agit de determiner de maniere, que 1' equation resultante entre 



u et t devienne integrable. Soit de plus P' = — et = d'apres la no- 



dx dx 



tation de Lagrange; la differentiation donnera 



ndu dt . „, 

 y = P — 4- u P 



J dt dx 



= £ . t +up> 



t] dt 



y 



P d 2 u dt . SP\ du . n ,du dt . „„ 



— + ( - ) — + P' — -\-uP 



7] dt ' 1 dx dt dt dx 



r? dt 2 \ V rfJdt 



Apres avoir fait la substitution dans (17) on obtient la transformee 



