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VU. 



Les equations differentielles du second ordre sont encore integrables, 

 si le coefficient du dernier terme est identiquement egal a zero; mais les 

 conditions, qu'on en tire, ne sont que des cas speciaux d'autres cas beau- 

 coup plus generaux, que je vais maintenant considerer. 



La forme de ces equations laisse prevoir, qu'il suffira de connaitre une 

 valeur speciale, excepte zero, qui leur satisfait pour en deduire l'integrale 

 complette. Si p. ex. P est une telle valeur speciale de y , qui satisfait a 

 l'equation (1), la substitution de y— Pfudx donnera une transformee li- 

 neaire du premier ordre en u , qui sera integrable par les methodes connues. 

 Toute la difficulte etant ainsi reduite a chercher des integrates particulieres, 

 nous irons nous en occuper maintenant et cliercherons a determiner les con- 

 ditions, qui doivent exister pour que cette integrate soit une fonction alge- 

 brique et entiere de x . 



Faisons pour cela dans (I) 



y^^+A^"- 1 .... +A m _ l x+A m 



Comme la substitution doit donner un resultat identiquement == o , on en 

 tirera un nombre m-f-2 d' equations entre les m , A 1 , A 2 .... A m dont le 

 nombre est m -\- 1 . Le coefficient de x m+1 egale a zero donne pour de- 

 terminer m 



En comparant cette equation avec (2) on voit que 



m = e — 1 



II suffit evidemment pour que la substitution proposee reussisse, que m 

 soit un nombre entier positif et de plus que l'equation de conditition, qu'on 

 obtient apres relimination des m quantites A x , . . . . A m entre les m -f \ 

 equations restantes, soit identiquement nulle. 



Essayons maintenant dans (6) la substitution 



*U*» + jS^. ...... +.£ n _ l x + B n 



on trouvera pour determiner n 



n+S n+1 m n+% „ , /, n 

 - F --3-- < P 3 --^-^ + «Fi = ° W 



et dela 



n — — 1 — s 



