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= cc , qui soit encore une racine de q> 2 (x) == o on aura identiquement 



qo 3 (a) = o , q>' 3 (a,) = o , <p 2 («) = o 



La supposition de 



X-C£ 



qui donne , 



- n + f = * • (* • — - «P3 + V,)— 



y .T-C6 J X-CL 



fait done voir, que la condition (3) sera remplie d'elle meme , quel que 

 soit I , parceque 



*• — — V 3 + <F2 



s'evanouit avec x=a , La substitution dans (3) donne 



I \.r-a/ (x-a) X-a x-u J 



Puisque ^ peut etre quelconque , on peut le determiner de maniere , que 

 le coefficient de % devienne divisible par x — «. II devra par consequent 

 s'evanouir avec x—a\ ce qui donne 



p. ^(«) + I (JJ ^(a) - ^(„)J _|_ 2 qPl («) = o 



L'equation (12) divisee par le facteur commun x-a pourra ensuite etre 

 integree d'apres la methode de Mr Liouville. 



Le cas d'integrabilite, que je viens d' analyser, est le meme, que ce- 

 lui qui a ete traite deja par Euler qui s'en est occupe dans plusieurs me- 

 moires. 



VI. 



Si quelqu'une des equations (1), (6), (9) ou (11) est divisible par x-a, 

 elle coincidera apres la division par ce facteur avec l'equation traitee par 

 Mr. Liouville. Dela on tire les conditions dintegrabilite 



o 



M 1 ; <P 2 ( a ) — e * <Pi(«) = o 



M 1 qPg(a) — qp 2 («) = 



— 9 z( M ) + 9"i( a ) = 

 II est a remarquer que dans le premier cas les equations (1) et (I I) et 

 dans le second les equations (6) et (9) seront divisibles par x — a . 



