% 



Je nommerai dans la suite cette equation (§) la caracte'ristique de (I), 

 parceque elle jouit des proprietes remarquables pour determiner ses cas 

 d'integrabilite. 



n. 



L' equation (1) peut etre transformee de differentes manieres sans chan- 

 ger de forme. Puisque toutes ces transformees seront extremement utiles 

 pour la recherche presente, nous commencerons par les etudier speciale- 

 ment. Faisons pour cet effet 



y 



ce qui donne 



PpHx 



AO • C? ) 



La substitution effectuee on obtient apres avoir divise par e * 3 

 <P 3 z" + ( ^ + 2 ) + 0! + ^~^ 3 + « = .... (3) 



Pour que cette equation soit de la meme forme que (1), il est neces- 

 saire que p soit une fonction eiitiere de x du second degre et que 



P ( P — 03 + 2 ) s °it divisible par <p 3 (4) 



Cela peut se faire de differentes manieres, entre lesquelles la suivante 

 est la plus simple 



P = 03 — 2 ; 



elle donne 



y = %.^:e J (5) 



03 + (2 03 — 2 ) *' + (03 — 2 + 00 2 = (6) 



III. 



On peut encore satisfaire a la condition (4) en fesant 



p = A > _£l (7) 



x-a 



a, etant une des racines de 1' equation 



<p 3 (x) — 



