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d 2 % 

 dx 2 



x 2 \dz y 



Ces valeurs de — et substitutes dans l'equation precedente du 



dx dx 2 



second ordre donnent 



p± + 3p + 2z=f(z, je+2*) 

 d% 



Cette derniere equation peut encore etre simplifiee, en fesant 



p-\- ,( 2z = q 



et devient alors 



U~^)% + f=f^ 9) (*) 



§ 2. 



Le meme resultat peut encore etre obtenu d'une autre maniere, que 

 je crois utile d'indiquer ici. 



Pour transformer la variable independante il faut commencer par mettre 



dx d 2 y — dy d 2 x ,. j d 2 v 



^ au lieu de — £ 



dx 3 dx 2 



L'equation (1) devient alors 



dxd 2 y — dy d 2 x y dy *\ 



dx 3 \x 2 ' xdxJ 



ou nous ferons la transformation 



x = t. e u , y = t. e 2 " 



et prendrons u pour la nouvelle variable independante. Or on trouve par 

 differentiation 



dx — e n (dt -f- tdu) 



d 2 x - e n (d 2 t + 2 dt. du -\-tdu 2 ) 



dy = e*"(dt-\-%tdu) 



d 2 y = e 2u {dH + 4 dt. du -f 4 tdu 2 ) 



dxd 2 y — dyd 2 x = — e 3u (tdH — 2 dt 2 — Ztdtdu — 2 t 2 du 2 ) 

 au moyen de quoi l'equation transformee devient 



t _2 C-- Y- 3^-2**=- + A'/ f - > _^±^>) 



</k 2 v^y rfw y t{dt-\-tdu)J 



