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Nous  exposons  ici  ime  metkode  tout-ä-fait  different  e  (et,  comme  il  nous 
semble,  beaucoup  plus  simple)  permettant  de  resoudre  le  probleme  en  ques- 
tion pour  les  domaines  8  (finis  ou  infinis),  representables  sur  un  cercle  au 
шоу  en  des.  fonctions  rationelles  et  qui  peut  etre  appliquee  egalement  non 
seulement  dans  les  deux  cas  des  donnees  peripkeriques  mentionnees,  mais 
dans  les  cas  beaucoup  plus  varies;  par  ex.  quand  deux  corabinaisons  lineaires 
ä  coefficients  constants  (ou  rationelles)  de  U  et  de  ses  derivees  partielles  par 
rapport  aux  x  et  у  sont  donnees  sur  le  contour. 
I. 
1.  Nous  paiiirons  de  Г  expression  generale  de  M.  Goursat  pour  la  fonc- 
tion  bikarmonique  et,  pour  mieux  preciser  le  caractere  des  fonctions  qu'elle 
contient,  nous  en  donnerons  une  deduction  nouyelle.  Soit  U  une  solution  de 
(1)  telle,  que  les  fonctions  -Ц^,  ~  sont  uniformes,  continues  avec  ses  derb 
vees  de  deux  premiers  ordres  dans  un  certain  domaine  8.  Si  8  est  simple- 
ment  connexe,  Funiformite  de       ^~  implique  celle  de  CT,  mais  si  8  est 
multiplement  connexe,  £7  peut  6tre  multiforme1.  Plagons  nous  d'abord  dans 
le  premier  cas  et  supposons  8  fini,  limite  par  un  seul  contour  simple.  Desi- 
gnons  par  P(x,  y)  la  fonction  karmonique  ACT: 
(2)  Ш=Р{х)У) 
et  soit  Q(x,y)  —  la  fonction  conjuguee  de  Р(х>у)  de  sorte  que 
3)  Р(ж,  y)-*-iQ  (x,  y)  =  f(z)        (z  =  x  H—  iy) 
est  une  fonction  de  la  variable  complexe  kolomorpke  dans  S.  Posons 
encore 
(4)  -i-  jf(0)  dz  =  p  -*~  qi  =  ?  (*); 
on  aura 
1  Dans  la  plupart  des  applications  ce  n'  est  pas  U,  mais  ses  derivees  partielles  qui  ont  un 
sens  physique  direct;  par  cette  raison  nous  n'introduisons  pas  la  condition  d'uniformite  de  U. 
r- 
