et  on  verifie  aisement  que 
'  >  Д{Г7  — (ряя-2У)}  =  Р 
d'ou 
(5)  U  =  px-h-qy4r-p^ 
рг  designant  une  fonction  liarmoniqtie  dans  S. 
En  introduisant  la  fonction  qx ,  conj  uguee  de  pl ,  nous  pouvons  ecrire 
(5)  , sous  la  forme 
(6)  Ü  =  ді  Щ)  =  г2  Я  н- 
ой 
я  ===  х  —  іу,    ф  (я)  =  ^  -+-  % ,    г2  —  z~z  =  х2  у2 
et  Я  (a)  designe  la  partie  reelle  de  а.  C'est  precisement  l'expression  de 
M.  Goursat1.  : 
Remarquons,  que  Q  (xy  y)  est  determinee  ä  une  constante  pres  et,  par  suite, 
cp  (я)  a  une  expression  de  la  forme  а  -+-  г(3  Ві  (х  -н  гг/)  pres  (а,  ß,  В  desi- 
gnant  des  eonstantes  reelles).  On  pourra  done  toujours  poser  (si  Ton  suppose 
que  le  point  О  appartient  a  8) 
(7)  i(o)  =  <>,  w-i- =  Ö, 
et  ces  conditions  determinent  completement  9  (#).  On  pourra  de  тёше  poser 
|:      ,  •       :      mX-<b(o)  =  o.     :  ЩШШШі 
Considerons  ä  present  le  cas  ой  le  domaine  8  est  forme  d'  une  portion 
du  plan,  exterieure  ä  une  courbe  fermee,  simple  C2.  La  fonction  Q(x,  y)  defi- 
nie  plus  haut  sera  en  general  multiforme.  Menons  une  coupure  d'un  point 
quelconque  de  С  jusqu'ä  Tinfini;  soiqnt  $ч  ,  Q__  les  valeurs  de  Q  sur  les 
deux  bords  de  la  coupure;  on  aura 
Q+—Q„  =  const. 3  =  Ы. 
1  E.  Goursat.  Sur  l'equation  AAw  =  0  (Bull,  de  la  Soc.  Math,  de  France,  vol.  26,  1898). 
2  11  est  inutile  pour  notre  but  d'examiner  le  cas  plus  general. 
cdP 
3  Cette  constante  est  egale  ä  ]  ^  ds,  l'integrale  etant  prise  suivaut  uue  courbe  quelcou- 
a 
dP 
que  С j  enveloppaut  С  et  -^-  designant  la  derivee  suivant  la  normale  ä  С  dans  le  sens  facile  ä 
preciser. 
Извѣстія  P.  A.  II.  1919-  4$* 
