2.  Rappeions  encore  quelques  propositions  sur  la  conduite  des  fonctions 
de  la  variable  complexe  dans  le  voisinage  du  contour  du  d omaine,  ou  elles 
sont  defmies;  il  nous  suffira  de  nous  borner  ä  un  contour  analytique. 
Soit  d'abord  f{z)  une  fonction  holomorphe  dans  l'interieur  d'un  do- 
maine  S.  On  a  la  proposition  suivante 1 : 
Si  la  partie  reelle  de  f  (z)  tend  vers  ime  limit e  determinee  quand  z  tend 
vers  un  point  s  du  contour,  et  celle  ci,  consideree  comme  fonction  de  Гаге  s 
du  contour  est  continue,  avec  ses  derivees  d 'ordre  ^  n  (la  derniere  derivee 
pouvant  etre  seulement  bornee  et  integrdble)  sur  une  portion  AB  du  con- 
tour, f(z)  et  ses  derivees  d1  ordre  i^n —  1  tendront  egalement  vers  les  Uni- 
tes continues. 
Considerons  en  second  lieu  l'integrale 
prise  suivant  un  contour  ferme  С,  и  et  v  designant  des  fonctions  arbitrages 
(sauf,  bien  entendu,  la  condition  d'integrabilite)  de  Гаге  s  de  G,  et '( —  un 
point  ä  l'interieur  de  С2.  L'6tude  generale  des  integrales  de  cette  forme  а 
ete  faite  par  A,  Harnack3.  II  nous  suffit  d'annoncer  deux  propositions 
suivantes  eil  nous  bornant  au  cas  ou  G  est  une  circonference;  d'ailleurs,  dans 
се  cas  simple  la  demonstration  directe  ne  presente  aueune  difficulty. 
1°.  Si  Von  a 
1     Си+ІѴ  лу'  -        *      Cui+iv\  зу'  *     CU~ ™  AY'  -       1      Си^—ІѴ,  jy, 
^     С  .  '         с  .      с       ^         •  а 
pour  toutes  les  positions  de  '(  ä  Vinterieur  de  G,  и,  v,  uv  vx  designant  les 
fonctions  de  Гаге,  satis faisant  par  ex.  aux  conditions  de  Diriclüet,  on  aura 
и  =  и 
1 1 
V  =  V, 
partout,  ой  elles  sont  continues 
1  Painleve.  Sur  la  representation  conforme  (С.  E.  CXII,  1891). 
2  Се  n'est  pas  Pintegrale  de  С  auch  у  au  sens  ordinaire,  car  dans  Pint£grale  de  С  auch  у 
м  id  represente  la  valeur  au  contour  d'une  fonction  holomorphe  ä  Pinterieur  de  се  contour; 
done  une  seule  des  fonctions  n  et  v  pent  etre  prise  arbitrairement;  la  seconde  s'en  dёdшt  h  une 
constante  pres. 
3  Axel  Harnack.  Beiträge  zur  Theorie  des  С  a  u  с  h  y'schen  Integrales  (Berichte  der  k. 
sächs.  Ges.  d.  Wiss.,  1885.  Вёітргітё  dans  Math.  Annalen,  Bd.  XXXV). 
4  Je  profite  de  Poccasion  pour  signaler  que,  contrairement  a  l'affirmation  explfcite  de 
Harnack,  ce  theoreme  n'est  pas  cracte  pour  les  äomaines  multiplement  connexes. 
Пзвѣстія  Г.  А.  И.;  1.919. 
