—  676 
verifieront  la  meme  condition;  c'est  ce  que  пот  supposerons  dorenavant  (il 
suffira  pour  cela  de  supposer  que  u(s)  et  v(s)  admettent  les  derivees  secon- 
des  integrables;  voir  n°  2). 
Les  conditions  1°— -3°  doünent  un  systheme  des  equations  lineaires 
auxquelles  devront  satisfaire  les  constantes  (28)  et  (28)'  jusqu'ici  indeter- 
minees. 
En  effet,  developpons  d'abord  Pexpression  pour  cp(Q  en  serie  de 
Taylor  —  ce  que  ne  presente  aucune  difficultee  car 
Y  Y  Y 
=  ~  j(u^w)p{e^)d^^^j(u-^iv)p(ei^  eymd&+.., 
о  о 
—  et  ecrivons  que  les  m  -+-  2  coefficients  premiers  sont  respectivement  egaux 
a  ak-*-iak  Qc  =  0,  1,.  .  . ,  »i+l);  en  separant  les  parties  reelles  et  imagi- 
naires  nous  obtiendrons  un  premier  groupe  d'equations  lineaires  auxquelles 
devront  satisfaire  les  constantes  (28),  (28)'. 
Puis,  en  supposant  que  ces  equations  sont  satisfaites,  procedons  de  la 
meme  maniere  avec  Pexpression  pour  en  vertu  des  equations  du  pre- 
mier groupe  le  developpement  de  cette  expression  ne  contiendra  pas  de  puis- 
sances negatives  de     car  p  (~)  contient  ln  en  denominateur  et 
est  holomorphe  (par  definition  meme  des  Ak)  au  voisinage  de  '(  =  0. 
Nous  obtiendrons  ainsi  un  second  groupe  d'equations. 
La  condition  3°  revient  seulement  ä  egaler  a  0  quelques-  unes  des 
constantes  a0,  a'0,  ß0,  ß'0J  et  une  combinaison  lineaire  de  a17  a\. 
Enfin  nous  satisferons  a  la  condition  1°  en  exprimant,  que  1'expression 
pour  ф  ('()  reste  fini  pour  les  racines  de  p  (^j  de  moduls  <  1 ;  cela  donne  un 
troisieme  groupe  d'equations,  dont  la  formation  ne  presente  aussi  aucune 
difficulty , 
