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En  definitif  nous  obtiendrons  im  Systeme  d'equations  lineaires.  dout 
les  termes  constants  sont  de  la  forme 
2ТГ 
J  (X(s)  U(S)  -4-  fit(s)  y(s)} 
I*    .  • '  0  .  .  - 
X(s),  f/.  (s)  designant  les  fonctions  connues,  faciles  ä  calculer,  de  s  (et,  par 
suite,  de 
Rcciproquement,  si  ces  conditions  sont  satisfaites,  les  relations  (26) 
auront  lieu,  par  definition  тёте  des  fonctions  cp('C),  ф((),  pour  toutes  les 
positions  de  £  dans  a;  et  on  en  conclue  (n°  2,  1°)  que  les  conditions  aux  II- 
mites  (25/  ou  (25)  sont  verifiees. 
II  s'ensuit  de  la  que  le  Systeme  precedent  ne  pent  etre  indetermine; 
au  contraire  il  pent  devenir  incompatible,  et  Гёііпііпайоп  des  inconnues 
a0, .  .  . $'n  donnera  les  conditions  de  la  forme 
2% 
JjX(s)  u(s)  -+-  (X(s)  v(s))  d$  =  О 
0 
auxquelles  devront  satisfaire  les  donnees  au  contour,  pour  que  la  solution  de 
la  forme  cherchee  existe. 
Dans  le  cas  du  probleme  interieur  nous  obtiendrons  necessairement 
l'unique  condition  (13)  et  dans  le  cas  du  probleme  exterieur— les  condi- 
tions (14)  \ 
5.  Appliquons  la  methode  ä  quelques  exemples  simples. 
1°.  Aire  circulaire.  Dans  ce  cas 
!'La  remarque  suivante  n'est  pas,  peut  -  etre,  inutile:  les  conditions  de  compatibilite 
etant  deduites  dans  les  suppositions  restrictives  ä  l'egard  des  fonctions  9  et  ф,  on  pourra  etre 
porte  a  croire,  que  quelques  unes  d'elles  ne  sont  pas  necessaires  pour  l'existence  d'une  solu- 
tion, verifiant  seulement  les  conditions  imposees  au  commencement  du  3,  mais  non  celles- 
imposees  к  <p  et  ф.  Cependant  се  n'est  pas  ainsi  :  pour  le  voir  il  suffit  de  remarquer,  que  si  u(s) 
et  v  (s)  sont  telles  que  le  probleme  admet  une  solution,  satisfaisant  aux  conditions  du  n°  3  (et, 
par  suite,  continues),  on  pourra  toujours  trouver  deux  fonctions  analytiques  sur  С  гі1  (s),  i'i  (s), 
telles  que:  1°  \  u — Mjj,  \v— vi\  restent  (sur  C)  aussi  petites  que  l'on  voudra,  2°  il  existe  une  solu- 
tion Correspondante  а  щ  (s)  et  vx  (s);  or  cette  derniere  solution  sera  prolongeable  analytiquement 
au  delä  de  С  (voir  J.  Hadamard.  Sav.  etrang.,  t.  XXXIII  №  4,  p.  23).  II  est  aise  d'en  deduire 
notre  affirmation. 
Нзвѣстк  P.  A.  H.  1919. 
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