526 



Wir wollen nun beweisen, dass dièse Wurzeln nie ima- 

 ginâr sein kônnen, wenn sowohl 2m (Xdx-t-Ydy-t- Zdz) 

 als die Function dêr Bedingung 2(Adx -+- Bdy -+- Cdz) 

 voilstândige Differentiale sind. 



In der That, wenn die Gleichung tp(s 2 ) = o imaginâre 

 Wurzeln hat, so kônnen sie nur paarweise als Gonjugirte 

 vorkommen. Es seien z. B. und / 2 solche zwei conju- 

 girte Wurzeln, a 1 , bu c 1 ; <z 2 , c 2 ; . . . a„, 6,*, c n die 

 Werthe der Constanten in den Gleichungen (7) JV S 6 fur 



und a', b\ c, a( 2 ), M' 2 ), d n ) ilire Werthe fur 



s' 2 , dann haben wir vermôge (6) folgende zwei Reihen 

 conjugirter Intégrale der Gleichungen (5) 



= a i Cos(s 1 t -+- £ 2 ) 

 tf, — b i Cos{s l t ■+- fj) 

 Zi = CiCos(s 1 t -+- j 



£ { = a( i )Cos{s't •+- e') 

 ► und = Uf)Q&0t h— f') 



wo t aile Werthe von 1 bis n inclusiv hat, folglich 

 miissen die Produkte a}a x : , , c'c r ; a s a(^, . . , c„cW 

 positiv sein , wie aus den Gleichungen (7) ]V ? 6 zu 

 ersehen ist. Setzen wir nun zur Abkiirzung 



a. 



Cos(s x t -+- f T ) \g?# t / 1 \dy 1 



d~ 



'rn. 



Cos(s't s') 



dp t 



" " \dz 

 = 4' pi, und 



