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J. F. C. Hessel. 



st eil ig en Axen, wonach sich 7 mögliche Fälle für den 

 Charakter einer Axe ergeben. Es folgt sodann die Unter- 

 scheidung der Raumgebilde in solche mit und ohne Haupt- 

 axe oder in hauptaxige und hauptaxenlose Gestalten. 



Bei der allgemeinen Untersuchung der hauptaxige n 

 Gestalten werden die Quer axen erster und zweiter Art 

 mit der Hauptaxe als Messungsaxen eingeführt und damit 

 die haup taxigen Strahlsysteme zu Familien, welche als 

 ein- und m-maassige Gestalten (p == m oder 2 m) be- 

 zeichnet werden, vereinigt. 'Die Zahl m kann irgend einen 

 ganzzahligen, positiven Werth haben; für m = 2n + 1 er- 

 geben sich je 12 , nämlich 5 2 (2 n + l)-gliederige und 7 

 (2n + l)-gliederige, für m = 2n je 7, nämlich 5 4 n-gliederige 

 und 2 2 n-gliederige Classen von Strahl Systemen. Nur für 

 n = 0, d. h. für das ein- und ein-maassige Strahlsystem re- 

 ducirt sich die Zahl 12 auf 8, da viermal je zwei dieser 

 Classen als im Wesentlichen identisch anzusehen sind. 



Von der Familie der hauptaxenlosen Gestalten wer- 

 den ausser der Kugel, welche dem unendlich vielstrahligen 

 System entspricht, nur zwei Ordnungen erhalten, nämlich die 

 der 3-gliederig 4-axigen Gestalten (das cubische 

 System) mit 5 besonderen Classen und diejenige der 3-glie- 

 derig 10-axigen Gestalten (das ikosaedrische System) 

 mit 2 besonderen Classen. 



Es werden sodann die sämmtlichen möglichen einfachen 

 Gestalten dieser Classen, d. h. die von gleichwerthigen 

 Flächen, deren Normalen Strahlen von einerlei Art in einem 

 gegebenen Strahlsysteme sind, begrenzten Gestalten, sowie 

 auch die zusammengesetzten Gestalten abgeleitet und nach 

 ihren Eigenschaften untersucht. Hieran schliessen sich ein- 

 gehende Untersuchungen über die Bestimmung und Unter- 

 scheidung der wesentlichen Strahlen und Axen der beiden 

 Hauptclassen nach ihrem Vorzeichen und ihrer Maasszahh 

 Hier erfährt die Vorzeichenbestimmung der beiden Permuta- 

 tionsclassen eine interessante geometrische Anwendung ; anderer- 

 seits wird eine grosse Anzahl von Formeln entwickelt, welche 

 die durch je drei benachbarte der wichtigsten Strahlen (für 

 die hauptaxigen Gestalten sind dies der Hauptstrahl und je 

 ein 2-fach 2-gliederiger Querstrahl der ersten und der zweiten 



