J. F. C. Hessel. 



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Art, für das cubische System z. B. je ein 2-fach 4-gliede- 

 riger, 3-gliederiger und 2-gliederiger Strahl) bestimmte Ecke 

 oder die hierdurch gegebene „Zelle" und die übrigen Strah- 

 len, welche als Flächennormalen auftreten, charakterisiren. 

 Durch diese Relationen zwischen den trigonometrischen Func- 

 tionen der Winkel jener Ecken und den Werthen der Be- 

 stimmungsstrahlen wird auch eine einfache und charakteri- 

 stische Bezeichnung der Gestalten der verschiedenen Classen 

 erzielt. 



Damit schliesst der erste Haupttheil des Buches und der 

 nun folgende zweite — dem Umfang nach nur halb so grosse — 

 Theil enthält die wichtige Anwendung der allgemeinen Be- 

 trachtungen auf die Bestimmung der möglichen Krystallclassen. 

 Es wird zunächst das Gerengesetz oder das Gesetz vom 

 Parallelogramme der Strahlen (die geometrische Addition von 

 Geraden) und die Bedingung für einen gerengesetzlichen 

 Strahlenverein in der Ebene und im Räume entwickelt. Aus 



dem Satze, dass cos— 360° nur dann rational ist, wenn die 



3 n ' 



ganze Zahl n bei geradem Werthe nicht grösser als 6 und 

 bei ungeradem Werthe nicht grösser als 3 ist — Hessel hat 

 diesen Satz erst in seiner letzten im GnuNERT'schen Archive 

 48. 1868 veröffentlichten Abhandlung scharf bewiesen — 

 folgt nun, dass bei den ein- und m-maassigen Strahlsystemen, 

 für welche m >> 3 ist, die Gesammtheit der ebenbildlichen 

 Strahlen nicht zu demselben gerengesetzlichen Verein gehören 

 kann, und dass ferner von den hauptaxenlosen Systemen das 

 3-gliederig 20-strahlige nicht dem Gerengesetz unterworfen 

 ist, da weder alle 5-gliederigen, noch alle 2-gliederigen, noch 

 auch alle 3-gliederigen Strahlen, daher auch nicht die Ge- 

 sammtheit der Strahlen aller dieser 3 Arten demselben geren- 

 gesetzlichen Strahlenverein angehören kann. 



Somit ergeben sich folgende Hauptabtheilungen für die 

 dem Gerengesetze unterworfenen Krystallgestalten : 



I. Hauptclasse: Haupt axenlose Gestalten. Einzige 

 Ordnung der 3-gliederig 4- axigen Gestalten, welche 

 5 besondere Classen umfasst (cubisches System). 

 II. Hauptclasse: Hauptaxige Gestalten. 

 1. Ordnung: 1-fach 1-axige: 



