— 208 — 



Обозначая кватернион іч- иі-*-ѵ^ гѵк через ^ будем иметь 



N{Ъ-^а—^)<1 



и, если 



с = а — Ъ^, то ІѴ(с) < К(Ъ). 



Совершенно также докажем возможность удовлетворить условиям (1'). 



Ь) Всякий правый (а также левый) идеал в области кватернионов 

 есть идеал главный. В самом деле, если в данном правом идеале выберем 

 рватернион Ъ с наименьшей нормой, то для всякого другого кватерниона а 

 из этого идеала можно подобрать целый кватерьшон ^ так, чтобы 



N{а — ^Ъ)<N(Ъ) 



и, следовательно 



а = дЬ, д. Е. В. 



Пользуясь теоремой а) можно построить алгориФм, аналогичный алго- 

 риФму Евклида для нахождения общего наибольшего делителя двух чисел. 

 Результат этого исследования, которое мы для краткости опускаем, сле- 

 дующий: 



с) Для всяких двух целых кватернионов а и Ъ, не равных О зараз, 

 существует целый кватернион іі, обладающий следующими свойствами: 

 1) Л делит справа а и Ь; 2) всякий кватернион, делящий справа аиЪ, 

 делит справа и й; 3) при некоторых г(,елых кватернионах ди г: 



да -і- гЪ = ё. 



Этот кватернион (I наз. общим наибольшим делителем а шЬ справа. 

 Совершенно также определяется и общий наибольший делитель а, Ъ слева. 



Если общЕЙ наибольший делитель а жЬ справа равен 1, то мы гово- 

 рим, что кватернионы а и & не имеют общего делителя справа. Если общий 

 наибольший делитель кватернионов а = а'с^, Ъ = Ъ'сі справа равен то а и 

 Ъ' не имеют общего делителя справа и наоборот. Если обпщй наибольший 

 делитель а, Ъ справа есть то общий наибольший делитель ар и Ър — 

 произвольный целый кватернион) справа есть ф. Если, наконец, а и 6 не 

 имеют общего делителя справа, то при целых дшг 



да ч- гЬ — 1. 



Эти замечания вьггекают из теоремы с). 



й) Если примитивный кватернион М делится справа на кватер- 

 нионы а и а, причем ^(а') = N{0), то а! — га, где е единица. 



