— 210 — 



Т о/да пайдьтсн один определенный целый кватернион тг нормы р, удовле- 

 творяющий условию ^:^ = {МоЛ р), причем всякий корень В сравнения 

 В^ = о {Моё р) делится справа на тг. 



Совокупность кватернионов В, удовлетворяющих сравнению 



Вд = О (Мой 2і), 



есть правый идеал, так что все кватернионы В имеют вид где ті — не- 

 который определенный, а ^ — произвольный целый кватернион. Из условий 

 теоремы следует, что тс не есть единица; легко видеть также, что тс не мо- 

 жет делиться на р, потому что средп кватернионов В имеются не делящиеся 

 на р. Так как среди кватернионов В находится также число р, го р = тх'-к, 

 где -к' — целый кватернион и следовательно К{ѵ:) = р, Е. В. 



Щ Если кватернион тг простой, то нох)ма его есть простое число. 



Пусть Ж{т:) =р8, где ^ — простое число. Заметим сначала, что ква- 

 тернионы удовлетворяющие условиям предыдущей теоремы, всегда суще- 

 ствуют и потому р есть норма некоторого кватерниона', так что р не мо- 

 жет быть простым в области кватернионов. 



Поэтому, тс не делится на^». Следовательно, по предыдущей теореме 

 существует кватернион ^^ нормы ^^, для которого тс'т: =рр, откуда тс = тс'р 

 и р есть единица. Следовательно 5 = N{р) = 1, д. Е. В. 



§ 5. а) Если кватернионы Р, ^ взаимно-простые, то существуют 

 кватернионы Р', (^, нормы которых соответственно равны К{Р) и ІѴ(^) 

 и для которых: 



при этом, всякая друіая пара кватернионов Р", С/', удовлетворяюгцая по- 

 ставленным условиям^ имеет вид Р" =гР', д" = (^г, іде ь единица. 



Рассмотрим сначала случай, когда ^ = р есть простой кватернион 

 нормы г. Произведение Рр не делится (§ 4, /") (на г и потому (§ 4, д)) для 

 некоторого кватерниона р' нормы г '^'Рр=рР' и Рр = р'Р, причем 

 В{Р') = N{Р). Отсюда, если принять во внимание, что каждый кватернион 

 есть произведение нескольких простых кватернионов (§ 3), можно вывести 

 существование кватернионов Р', удовлетворяюіщіх условиям: 



рд = д'Р'; NіР') = К{Р); = щд) 



1 Отсюда, между прочим, вытекает, что всякое число есть сумма четырех квадратов. 



