— 211 — 



для двух любых взаимно-простых кватернионов 1\ (}. Пусть кроме тог'О 



р^=^"р", причем 



тогда из равенства ^'Р' =д''Р'' имеем ^Р'Р'^^ О (Мосі ІѴ (Р")) и (§ 4, /")) 

 Р'Р"=0 (Мой N{Р")), т. е. Р" = 1Р', а следовательно ^"=^\, где г— 

 единица, 2). 



Ь) Пусть N^^, . . . ІѴ^ — кватернионы, нормы которых делятся 

 на простое число р. Сравнение 



N^Л\ ... ІѴ^ = О (Мой р) (2) 



имеет место тогда и только тогда, когда при некотором г из ряда 

 1, 2, ... 8 — 1 



ІѴ.ІѴ,ч.і ^ О (Мосі р) (3) 



Когда последнее условие выполнено, то очевидно, что имеет место 

 сравнение (2). Нам нужно доказать, что и наоборот, сравнение (2) влечет 

 за собою одно из сравнений (3). Это справедливо для 8 = 2; предположим, 

 что это утверждение справедливо для того случая, когда число кватернио- 

 нов . . . меньше 8. Из сравнения (2) выводим, что-либо 



. .. 7Ѵ^ = (Могі.^) 



и тогда теорема (по предположению) справедлива, либо N^ ... ІѴ^ не де- 

 лится на положим в последнем случае ІѴд = тгЖ, где тг, Ж — целые ква- 

 тернионы, из которых первый пмеет норму р. По теореме §■) § 4 заключаем, 

 что ІѴ"^ делится справа на тг, т. е. ІѴ^ Д, делится на р, Е. В. 



с) Каждый примитивный кѳатерннон, норма которою есть степень 

 простого числа разлагается на простые кватернионы единственным спо- 

 собом. 



Пусть 



данный примитивный кватернион, причем т:^, тг^, ... суть простые кватер- 

 нионы нормы р. Если Р=тс/ V'-' ■"^1' "^'2^ ••• также имеют 

 норму р, то из равенства 



^2 • • • = ^2' • • • (4) 



ИРАР1 1922. 



