— 212 — 



получаем -к^'Р=0 {Жо& р), откуда по предыдущей теореме следует, что 

 тт^' тс^ делится на ^?, т. е. ті/ = тс^ е^, где — единица. Равенство (4) дает 



Рассуждая таким же образом дальше, получим: 



Доказаішые в этом § теоремы дают возможность выяснить, каким 

 образом составляются все целые кватернионы при помощи умножения 

 из простых кватернионов. 



Пусть Л целый кватернион и ш — его делитель, так что Л = тА^^ 

 — примитивный кватернион. Взяв какое-нибудь разложение на про- 

 стые кватернионы п переставив в этом разложенип надлел?аіцим образом 

 множители на основании теоремы а) этого §, можем представить в виде: 



А^ = Р^Р^ ... Р^, 



где Р. — примитивный кватернион нормы ^ Л, и р^, р^, ... р^ — суть раз- 

 личные между собою простые числа, входящие в ІѴ(-4(,). При этом (теорема а) 

 этого §) кватернионы Р^, Р^, , . . Р^ определяются с точностью до множи- 

 телей — единиц. Кан;дый же из кватернионов Р^, Р^, ... Р^ разлагается 

 на множители единственньш способом (теорема с)). 



§ 6. В этом § мы докажем несколько свойств целых кватернионов, ко- 

 торые, хотя не иі\іеют значения для дальнейшего, но представляют сами по 

 себе некоторый ігатерес. 



Пусть А, Б — целые кватернионы, не имеюпще общего делителя 

 справа. Рассмотрим уравнение 



ХА = ТВ 



и докажем, что все решения этого уравнения имеют вид: 



Х = ТВ', 7= ТА', 



где Т — произвольный целый кватернион, N{А') = К{А), N{В') = В{В). 

 Пусть сначала В = р — простой кватернион нормы г. Все кватернионы X, 

 для которых ХА делится справа на р, образуют правый идеал и имеют 

 поэтому вид Тр', где Т — произвольный, р' — некоторый определенный ква- 

 тернион. Так как А не делится справа на р, то р' не есть единица. .Заметим 



