— 213 — 



теперь, что всегда можно найти простой кватернион ро нормы г, дія кото- 

 рого ро^. делится справа на р. Действительно, если ^ и р взаимно простые, 

 то (§ 5, а)) можно положить Ло = р^^Л', N(А') = N{А) и тогда р,,^ = А'р. 

 Если же N{А) делится на г, то А = р^А^, где р^ имеет норму г и 



Ро^ = г^о= Лр- р- 



Отсюда заключаем, что р' = р^ и все решения уравнения ХА = Тр имеют 

 вид X = Тр„ Т= ТА', где р,А = А'р. 



Предположим, что наша теорема справедлива для всех кватернионов 

 А, Б, из которых второй содержит не более ѵ — 1 простых кватернионов 

 и пусть В — В^р — некоторый кватернион, имеюп],ий ѵ простых множите- 

 лей и не имеюш,пй обіцего делителя с А справа; р означает простой кватер- 

 нион нормы г. Так как р не делит А справа, то, по доказанному, найдется 

 простой кватернион р^ нормы г, для которого р^А =А^р. 



Докажем, что А^ н В^ не имеют обпщх делителей справа. Пусть 



где а простой кватернион. Если ІѴ(о-) Ф г, полагаем ар = р'о-', Ж{р) = г; 

 тогда 



В = В.'ар = Б/рѴ; р,А = А,'<7р = А.'р'а'- 



из последнего же равенства вытекает, что А делится на а' справа, что не- 

 возможно. 



Если ІѴ (а) = г, то из равенства р^А = А^'(7р заключаем (§ 5), что 

 іибо р^А делится на г, либо А делится на р справа. Последний случай не- 

 возможен; в первом случае N{А) делится на /• и, кроме того, либо ^о'о-, либо 

 ар делится на г, что также невозмоя^но. 



Если 



ХА = ТВ = ГБор, 



то Х= Тро, причем = ЕЬ'о. Так как А^, не имеют общего дели- 

 теля справа, то можно положить 



В'Ао Л'^о, ЩВЛ = ЩВоУ, ЩА,') = ЩА,) 



и Т= С/В'о, Т= ѴА\, где II — целый кватерион. Следовательно, обозна- 

 чая В^'р^ и А^ через В' и А', будем иметь: 



В'А=В,'Аор=А'В;ЩВ')=ЩВ),Щ1')^ЩАу, Х^ѴВ', У^ПА', д.Е. П. 



ИРАН 1922 



