— 215 — 



Пусть р^, ... — различные простые числа, входящие в состав 

 N{В). Если найдем кватернионы Р^, Р^, ... Р^. так, чтобы N(Л -н Р,^В) 

 не делилось на р^, то кватернион Р, определяемый из сравнений 



Р^Р, (Мойр;), ѵ= 1,2, ...к 



будет удовлетворять требованию теоремы. Пусть р^ одно из чисел р,, . .р^^. 

 Если і?^ = 2, то, как л'егко видеть, все простые кватернионы нормы имеют 

 вид е(1н-г), где е — единица и потому М(А) нечетное. Следовательно 

 можно взять Р^ = 0. Если нечетное, то можно предполагать, что N{Л) 

 делится на р^; кватернион ВЛ не делится на р^, так как в противном случае 

 без труда замечаем, что ЛпВ делятся справа на простой кватернион нормы р^. 

 Мы имеем далее 



N(А-*-Р^В)=ЩА)-*-NіВ)ЩР;)-^ АЩ -л- Р^ВА=2Е(Р^-ВА) (Мосі р^). 

 Если 



ВА = , =^ Ѳ -ч- г)^ ^:^?, 



то 



2Д (Р^ • ВА) = (іѲ _ — Ьу] — сі 



По замеченному выше, не все числа (і, а, Ъ, с делятся на а потому 

 можно выбрать целые числа I, гі, I, Ѳ так, чтобы 2В (Р^ВА), а следова- 

 тельно и Н{А н- Р^В) не делилась на р^, ^. Е. В. 



§ 7. Пусть а — целый кватернион, не равньиі нулю. Мы говорим, что 

 кватернионы Ъ п с сравнимы по Мо(1 а справа, если Ъ — с делится справа 

 на а. Совокупность всех целых кватернионов, сравнимых с одним и тем же 

 по Мой а справа, есть класс кватернионов по Мо(1 а. Еслп пз каждого 

 класса возьмем по одному кватерниону, то полученная система кватернионов, 

 называемая полной системой вычетов по Мосі а справа, будет обладать тем 

 свойством, что каждый целый кватернион сравним с одним н только одним 

 кватернионом из этой системы по Мой а справа. Наша задача состоит 

 в отыскании числа различных классов, на которые распадаются все целые 

 кватернионы по Мосі а справа. Найдя это число, мы тем самым найдем и 

 число классов, на которые распадаются все целые кватернионы по любому 

 модулю слева, потому что, если р ^ сравнимы по МоЛ а справа, то ^9 и д 

 сравнимы по Мой а слева. В этом § мы постоянно будем предполагать срав- 

 нимость кватернионов по некоторому модулю справа и потому слово «справа» 

 будем для краткости опускать. Обозначим через т {а) число классов целых 

 кватернионов по Мосі а. 



ИРАН 1922. 



