Пусть а, Ъ — целые кватернионы, 



• • • Л; ^ 



полная система вычетов по Мо(і а и 



... Б,; 



полная система вычетов по Мосі Ь; тогда кватернионы 



В^-^Л^Ъ: ,л= 1,2, ... 8, ѵ=1,2, ... ^ 



образуют, очевидно, полную систему вычетов по Мой аЬ. Отсюда заклю- 

 чаем, что для всяких двух целых кватернионов а, Ъ имеет место равенство 



т(аЬ) = т{а)т(Ь) (5). 



Рассмотрим теперь совокупность всех кватернионов с целыми коэффи- 

 циентами и обозначим через М{р) число классов, на которые распадается 

 эта совокупность по модулю: 



р = й -л- аг -\- ск, 



где і, а, Ъ, с — целые рациональные числа. Все кватернионы (с целыми 

 коэффициентами) сравнимые с кватернионом 8 -ь аг н- рі^' -і- уй; по Мой р 

 имеют вид: 



X = 8 -н аг -*- -+- ч- (і( -н у§ -ь вк) {сі -\- аі -^-ек) = Ь-л- 

 сіі — ах — Ъу - св-у- {а.-+-аі-і-(іх-+-су — Ъг) і-*- ф -+- Ы — сх Лу аг)з -+- 

 -і- (у -ь- сі -і-Ъх — ау Лг) к, 



где і, X, у, в — произвольные целые числа. Легко видеть, что надлежаще 

 выбранной линейной подстановкой переменных х, у, г, і с целыми коэффи- 

 циентами и определителем -ь- 1 можно привести систему линейных Форм 



М — ах — Ъу — С2 

 аі -+- сіх -ь- су — Ъ0 

 Ы — сх Лу ав 

 сі -л- Ъх — ау 



определитель которой равен 



{й^ и- а" _^ 62 ^ ^ѵ'(р)2 



