— 218 — 



и заметим, что канадый целый кватернион с дробными коэффициентами 

 можно представить в виде А-і-і, где ^ — кватернион с целыми коэффи- 

 циентами. Пусть 



А^, ^2» • • • А 



все несравнимые по Мой а кватернионы с целыми коэффициентами; тогда 



А А-^ ч ■ •■• А ^ 



суть все несравнимые по Мой а кватернионы с дробными коэффициентами 

 и потому т {а) = 28. С другой стороны, в рассматриваемом случае еа есть 

 кватернион с целыми коэффициентами и совокупность всех кватернионов 

 с целыми коэффициентами разбивается по Мой а на 28 = М{а) классов 

 с представителями: 



А^ Аі • • ' 



ей, ^2 н- Е», ... А^-^ га. 

 Следовательно и в этом случае т (а) = N{а)^. В частности 



т(2) = 4«=16. 



Наконец, если а = , где а — кватернион с нечетными коэффициен- 

 тами, то, на основании равенства (5) можем написать 



Итак, можем высказать следующий результат: 



ѣісли а — целый кватернион, то число различных классов, на кото- 

 рые распадаются все целые кватернионы по Мой а {как справа, так и 

 слева) есть N(ау. 



§ 8. Пользуясь результатами, полученными в предыдущих §§ нетрудно 

 найти число представлений данного целого числа т в виде нормы целого 

 кватерниона, т. е. число решений уравнения т = д^. Это число будем обо- 

 значать знаком )г (т). 



Таким образом, у^{т) означает число систем целых чисел х, у, і, 

 удовлетворяющих условию 



4т = «2 и- ^2 -н ^2 -4- ^2. X ^ у = г = і (Мой 2). 



Докажем прежде всего, что для взаимно-простых тип функция 

 удовлетворяет соотношению 



2 4 X (шп) = '^{т)і{п) (6). 



