— 219 — 



Пусть д пробегает все решения уравнения т = дд, а. г — все решения 

 уравнения п = гг. Тогда произведение дг = 8 будет пробегать все реше- 

 ния уравнения 88 = тп и каждое из этих решений повторится 24 раза- 

 В самом деле, если ІѴ(5) = тп, то можно положить 5 = дг, где N{0) = т, 

 іѴ"(г) = п. Если дг = дѴ, то, так как т и п числа взаимно простые, 

 2' = ді,г' = 1г, е — единица, так что все системы (^е, ёг) (ё пробегает 

 все единицы) и только они дают одно и то же значение для произведения 

 5 = дг, д. Е. В. 



Если^»- — простое число и Л> 2, то 



24 х (Л = /.{ѵ) гіѵ^-') — Ыѵ) — ЩхІР^'") (7). 



Каждый кватернион ^ нормы имеет вид ттд, где тг — кватернион 

 нормы д — кватернион нормы и наоборот, норма всякого кватер- 

 ниона вида щ есть р^. Пусть тг и д пробегают независимо друг от друга все 

 решения уравнений іхтг=^э и дд=р^"^. Среди / (р) х,(р^~^) произведений 

 щ=д будут находиться все корни уравнения ^^=р^\ Приэтом каждый 

 из корней не делящихся на р (число которых есть (р^) — {р'^'^)) по- 

 явится 24 раза, потому что из равенства ид = 7і:Ѵ при тгд не деляш,емся 

 на р следует -к = иг, д =1д {г — единица); каждый же из корней ^, де- 

 лящихся на р (число которых есть у^(^~'^)) появится, очевидно, у {р) раз. 

 Следовательно, можем написать: 



откуда и вытекает Формула (7). Из этой Формулы, полагая у {р)=24:{1-\-1), 

 выводим для всякого X : 



. у{р^) = 24ьф -^І^-^ ^ ... ........ (8). 



Остается найти число /^(р) простых кватернионов нормы р. Если 

 р = 2, то /(^9) = 24, ^ = и можно предполагать поэтому нечетным 

 простым числом. Мы будем рассматривать все простые кватернионы и 

 нормы р, не связанные уравнением и' = етс, число которых есть 

 Пусть ^і, • • • ^8 делящиеся на_29 и несравнимые по Мой ква- 



тернионы, нормы которых делятся на р. Число их 5 после небольшого вы- 

 числения находится равным {р^ — 1) {р — 1). Каждому из кватерішонов ^^ 

 соответствует (§ 4, §)) один определенный кватернион и, удовлетворяющий 

 сравнению ■к^.= ^ (Мой р) и каждый из кватернионов и будет соответство- 

 вать одному или нескольким из кватернионов ^^. Пустн тс какой-нибудь 



ИРАН 1922. '5* 



