— 220 — 



из кватернионов нормы ^?; будем обозначать через ^ все те из кватернионов 

 ^2> • • ■ Яці которым соответствует -гг. Из сравнения = О (Мой р) 

 вытекает ^ = тіЕ и ясно, что кватернионы й, соответствующие всем ква- 

 тернионам (), образуют полную (кроме 0) систему вычетов по Мосі т: слева, 

 так что число кватернионов ^ равно — 1 (§ 7). Из равенства 



8 = (/-Ч- 1) (^^— 1), 



находим I =р. 



Формулы (6) и (7) позволяют теперь высказать такой результат: 

 Число у (т) целых кватернионов нормы т выражается по формуле: 



где ^ (т) означает сумму нечетных делителей т. 

 Отсюда легко вывести теорему ДасоЪі: 

 Число решений уравнения 



т = у"- ^ 



в целых числах^ равно 8'С,{т) при т нечетном и 2^{т) при т четном. 



Из теоремы ІасоЪі легко вывести, между прочим, что каждое нечет- 

 ное простое число.^ не имеющее вида 8п -? 7, есть сумма трех квадратов, 

 что нам понадобится впоследствии. 



Если = 3 (Мой 8), то число решений уравнения: 



р = у^' -л- 2^ -\- М^; X, у, 8 неч. 



равно 2 {р -+-!). Если бы во всех решениях последнего уравнения ^ было бы 

 отлично от О, то число решений, т. е. 2 (|) -ь- 1), делилось бы, очевидно, 

 на 16, что невозможно. Следовательно, среди решений последнего уравнения 

 найдется такое, в котором ^ = О и мы будем иметь 



р = х^ у^ я^. 



Если р = 1 (Мо(і 4), то число решений уравнения 



^ = -ч- -н ^2 и- 4^2; X неч. 



равно 2 (^9 -+- 1 ) и опять приходим к заключению, что для одного, по край- 

 ней мере, решения должно быть ^ = 0. 



Совершенно также можно доказать и возможность представления сум- 

 мой трех квадратов числа вида 2р, где р простое число, не имеющее Формы 

 8м -+-7. 



