— 222 — 



Ь) Всякая коммутативная область кватернионов {если она не совпйг 

 дает с областью рациональных чисел) изоморфна с некоторой мнимой 

 квадратичной областью. 



По условию, в рассматриваемой области найдется кватернион 



Ж = Ѳ -I- ^« н- уіУ -+- 'С,к, 



с рациональными коэффициентами, причем ^^-і-у)^-і-'0 0. Все остальные 

 кватернионы области, как это следует из предыдущей теоремы, имеют вид 

 а-і~ЪК, где а, Ъ — рациональные числа; наоборот, всякий кватернион вида 

 а-^ЪК принадлежит области. 



Область, составленную из кватернионов вида а н- ЬК{а, Ъ — произволь- 

 ные рациональные числа) будем в дальнейшем обозначать символом В (К). 

 Заметим теперь, что кватернион К удовлетворяет уравнению второй 

 степени: 



— 2ЬК -і- К{К) = О 

 Обозначим через со какой-нибудь корень неприводимого уравнения 

 со» — 2Ѳ(о -4- Ж{К) = 0. 



Квадратичная область Е(ш) = Е(^ — — тг)* — ^^^) мнимая; между 

 числами этой области и кватернионами области В (К) можно установить одно- 

 однозначное соответствие, сопоставив каждому числу и = а-+-Ъш кватер- 

 нион 8{а.) = а-+- ЪК; это соответствие обладает, очевидно следующими свой- 

 ствами: 



8{и±^) = 8{а)±8фУ, 8(4) = 8 (и) 8 ф); 8{оГ') = 8(о^)-\ 



которые и доказывают нашу теорему. 



В дальнейшем мы будем рассматривать только уравнения вида 



К' = — т, 



где т — целое положительное число, К — целый кватернион. Нетрудно ви- 

 деть, что всякий корень этого уравнения имеет вид: 



К = хі -і- -і- ^к, 



где ж, у, г целые числа и 



