— 223 — 



§ 10. а) Пусть т — целое рациональное число, не делящееся на не- 

 четное простое число г. Рассмотрим целые кватернионы Ь {если татвые 

 существуют), удовлетворяющие уравнению 



І9 = — т (9). 



Если для какого-нибудь корня Ъ этого уравнения и какого-нибудь ква- 

 терниона р нормы г имеет место равенство 



где Ь' — целый кватернион, то — т есть квадратичный вычет числа г. 

 Если наоборот {^~~~^ = 1> '*по для всякого корня Ь уравнения (9) су- 

 ществуют два и только два простые кватерниона р нормы г, не связан- 

 ные уравнением вида р' = ер, г единица, для которых рЬ делится справа 

 на р. 



Чтобы не прерывать дальнейшие рассуждения, сделаем несколько про- 

 стых замечаний. Обозначим через Д делителя кватерниона Ь, так что Ь = ДХо 

 где — примитивный кватернион. Для всякого кватерниона р нормы г 

 можно положить (§ 5, а)): 



рі = Гр'; N{р') = ^, N{^'}=^N{^) = т. 



Нетрудно видеть, что делитель кватерниона Ь' есть также А; если, 

 кроме того, в последнем равенстве р' = &р — единица), то одновре- 

 менно с Ь есть корень уравнения (9). В самом деле (считая р' = р) 



гЬ' == рір" = - — рТур" = — Ь'г, т. е. X' = — V. 



Если для некоторого корня Ь уравнения (9) кватернион 



(10) 



где а, Ъ, с — целые рациональные числа без общего делителя, целый, то и 

 для всякого другого корня і! уравнения (9), обладающего тем же делите- 

 лем, что и Ь, кватернион 



будет целым; отсюда следует, что если (10) есть примитивный кватернион, 

 то таковым же будет и кватернион (Ю'). 



ИРАН 1922. 



