— 224 — 



Пусть І корень уравнения (9) и р^, р^, ... р^^^ — все кватернионы 

 нормы г, не связанные уравнением вида р' = ер, где е — единица; положим 



р,і = гр; 



где р/, рз', . . . р'^^^ — кватернионы нормы г, а X', ... Х^*""*"')- — кватер- 

 нионы нормы т. Никакие два из кватернионов р/ не связаны уравнением 

 р/ = ер'^., так как общий наибольший делитель справа кватернионов р^Ь и 

 р^.і (гфі) равен Ь (§ 4). Поэтому, можно предполагать, что кватернионы 



только порядком отличаются от р,, р^, ... р^_^^. Отсюда видно, что каждому 

 из кватернионов р^, р^, ... р^_^.у можно привести в соответствие один опре- 

 деленный кватернион из того же ряда. Именно, кватерниону р^. мы приводим 

 в соответствие кватернион р'^.. 



Мы докажем сейчас, что это соответствие обратимо, т. е. если кватер- 

 ниону р соответствует р', то р' соответствует кватернион р. Это очевидно, 

 если р = р'. Если же р Ф р', то обозначим через р" кватернион, которому 

 соответствует р. По условию, имеем равенства вида 



рЬ = Ь,р' 



р"^ = ^,?■, 



умножая второе из них справа на X и пользуясь первым, получим 



— тр" = Ь^рЬ = ХзЬір', 



откуда, так как т не делится на г, вытекает: р = ір'\ Ь^Ь^— — те, что 

 возможно только при р" = р'. Так как число г -і- 1 кватернионов 



Рі' Р2> • • • Рг-+-1 



четное, то из всего сказанного вытекает, что число кватернионов р нормы г, 

 не связанных уравнением вида р =ір и для которых рЬ делится справа 

 на р, есть число четное. 



Переходя к доказательству нашей теоремы, положим, что для некото- 

 рого кватерниона р нормы г и некоторого корня Ь уравнения (9) имеем 



рЬ = Ь'р. 



