— 226 — 



Если бы число Ъ делилось на г, то а также делилось бы, ас — не де- 

 лилось бы на г, и мы имели бы 



: = О (МОСІ г), 



о 



что невозможно. Итак, 6 на г не делится и из равенства (13) находим, что 

 — т есть квадратичный вычет г. 



Если наоборот (^'~~^ = то, определив число Ъ по условию 



62 -4- т = О (Мо(і г), 

 для любого корня Ь уравнения (9) можем положить: 



Ъ-і- Ь = Кр, 



где р — простой кватернион нормы г. Положив рЬ — Х'р', N{р) = г, на- 

 ходим 



КрЬ = КЬ'р' = ЬКр, 



откуда, в виду того, что КрЬ на г не делится, находим р' = ер, где г еди- 

 ница, так что рХ делится на р справа. 



Остается найти число таких кватернионов р. Так как существо- 

 вание одного из них доказано, то видим, что для некоторого корня 



) уравнения (9) можем написать равенство вида (12), при чем 



есть примитивный кватернион. Но все кватернионы ряда (11) имеют, оче- 



а-\-ЬЬ 



видно, одного и того же делителя; следовательно кватернион — - — также 

 примитивный. Замечая, что нормы и одинаковы, можем по- 



С с 



дожить 



а-*-ЪЕ , . 



-у- = РаРа-1 • • • РаРі (14) 



где р^^, ... р^ — простые кватернионы нормы г. Пусть теперь р любой ква- 

 тернион нормы г, для которого рЬ делится справа на р. Мы имеем 



Р 



аа + ЪрЬ а + ЪѴ „ 

 ?л • • • Рі = . = —т- Р = ^Р' 



где К — целый кватернион. Отсюда, так как Р;^ . . . Рі примитивный ква- 



