— 227 — 



тернион, вытекает, что лпбо ^ = гр^, либо о = ір^. Равенство (14) показы- 

 вает, что можно положить 



9^^ = ^"?. 



где X', Х", . . - корни уравнения (9). Отсюда заключаем прежде всего, что 

 гр^Х и Ц>і^Ь делятся справа соответственно на ер^ и ер^ (е — произвольная 

 единица). Далее, так как 



?г?к • ■ • ?«^' = ^'РіРа- • • • Ра' 



то 



Рі Ра • • • Рз = — -^' — ' 



где а, Ъ\ с целые числа без общего делителя. Положив ^= р^ • • • Ра? на- 



а а 



ходим, что — и — суть соответственно вещественные части произведении 



С С 



^Рі И рД, так что 



Далее, из равенств 



— = ?к ■ • • ?2?1^ = ?2^-Рі 



— тЪ' -+- а'Ь' у- 1 

 -' = Рі • Ра • • • Р2^ 



— тЪ — тЪ' „ „ 



вытекает, что и — — суть вещественные части произведении д^р^ и 



О с 



р^К^, где К^ = ... раХ', так что — = К- Итак, можно принять а' = а, 



С с 



у = Ь, с = с ж шл получаем 



а + ЪЪ' 



Рі Ра • • • р2 = • 



Так как в правой части стоит примитивный кватернион, то рір^ не де- 

 лится на г, т. е. кватернионы р^ и р^ не связаны уравнением вида р^ = ер^. 

 Итак, для всякого корня Ь уравнения (9) существует два п только два ква- 

 терниона р нормы г, не связанных уравнением р' = ер и для которых рХ 

 делится справа на р. Наша теорема, таким образом, доказана. 



ИРАН 1922 



