— 228 — 



Рассмотрим некоторые частные случаи. 



1) т = 1. Уравнение = ■ — 1 имеет 6 решений 



ь = ±3, ±к. 



Если г один из этих корней и у] пробегает все единицы, то выражение 

 у)ЕУі пробегает все корни уравнения = — 1 и каждый по 4 раза, потому 

 что равенство гігг\ = гіщ имеет место тогда и только тогда, когда у)' = ± у] 

 или У]' = ± у;е. Отсюда заключаем, что для всяких двух корней е и е' урав- 

 нения 1^ = — 1 можно подобрать единицу у) согласно условию 



г)г' = ігі (15) 



Пусть г нечетное простое число, для которого ^-^^= т. е. 



г ^ 1 (Мой 4). По доказанной теореме, для некоторого простого кватер- 

 ниона р нормы г имеем 



ре = е'р 



где е, е' корни уравнения = — 1 . Выбирая единицу у] согласно условию 

 (1 5), найдем, что у)р.е = е.у)р, откуда у)р = а -+- &е, где а, Ъ целые рацио- 

 нальные числа. Итак: 



Каждое простое число вида 4п --н 1 есть сумма двух квадратов. 



При помощи той же теоремы а) этого § легко убедиться, что такое 

 разложение единственно. 



2) т = 2. Корни уравнения г^ = — 2 



г =^ ± і ± 3, ± г ± к, ± ^ ± к, 



число которых 12, получаются (каждый по одному разу) из одного из них і 

 при помощи Формулы уіеу], если заставить у) пробегать все единицы, не свя- 

 занные равенством вида у)' = ± у). Отсюда опять вытекает, что для всяких 

 двух корней е, г' можно найти единицу у] по условию гіі' = щ. Поэтому, мо- 

 жем высказать теорему: 



Всякое простое число вида 8п-і- 1 или 8п-\- 3 представляется 

 формой -ь 2у^. 



3) т=Ъ. Уравнение = — 3 имеет 8 решений 



г = ±і±^±к. 



Если & один корень, то выражение уі&ѵі дает только 4 различных зна- 

 чения, когда У) пробегает все единицы. Поэтому, в рассматриваемом случае 



