— 229 — 



корни распадаются на две группы щп и ѵ]Е^у], где — некоторый корень, 

 не связанный с е уравнением вида = гіггі. Если г нечетное простое число, 



для которого (^~~^ = І5 то для некоторого кватерниона р нормы г 



ре = і'р. 



Простое вычисление показывает, что корни е п і, входящие в послед- 

 нее равенство, всегда принадлежат к одной и той же группе и потому по- 

 лучаем : 



Для всякого простого числа г вида 6п и- 1 найдутся числа х, г), удо- 

 влетворяющие условию 



4г = Ъу"^. 



Ь) Пусть т — целое число, не имеющее квадратных делителей и 

 п — нечетное число, взаимно простое с гп. Если ■ — т квадрагпичньт вы- 

 чет п, то для некоторого числа ^> О можно положить: 



4іг* = х^ -+- ту'^, 



причем гі/Слые числа х, у не имеют общего нечетного делителя Ч 

 Докажем сначала, что для всякого корня Ь уравнения 



= — ш • (16) 



можно найти примитивный кватернион ѵ нормы не имеющий общих дели- 

 телей справа с любым наперед заданным примитивным кватернионом нормы п 

 и удовлетворяющий условию: 



Пусть данный нам примитивный кватернион нормы п имеет вид: 



= '^Г • • • • • • • • • Ра • • • Рі5 



N{^^)^. . . =Щ^,) = І, . . . . . . = ІѴ^(р,)= . . . = 



П — ... 5^ г*, 



1 Излагаемое здесь доказательство этой теоремы предполагает, что число т есть сумма 

 трех квадратов. Однако, в дальнейшем (§ 12) мы будем пользоваться только частным ( лучаем 

 этой теоремы, именно, когда т = ^) или 2^), где р — простое число, не имеющее Формы 8?г -+- 7; 

 возможность же представления таких чисел срімоГі трех квадратов доказана в § 8. 



ИРАН 1922. 



