— 231 — 



причем , ... примитивные кватернионы нормы п, выбранные так, что 

 при всяком г = 2, 3, ... А; ѵ. и не имеют общего делителя справа. 

 Числа а, Ъ, с в последнем равенстве суть целые числа без общего делителя. 

 Нетрудао видеть, что кватернион ѴдѴд_, . . . ѵ^ примитивный. В самом деле, 

 если бы ѵ^^ Ѵд_^ . . . делился бы на простой множитель р, входящий в со- 

 став и, то (§ 5, Ъ)) при некотором і 



ѵ..ѵ,._, = О (ЪШр), 



откуда выходило бы, что и ѵ^._^ имеют общего де.іителя справа, что не- 

 возможно. 



Далее, кватернион — - — целый; так как = — т и т не имеет 



квадратных де.штелей, то с = 1 или 2; ясно кроме того, что а и & не имеют 

 обшдх нечетных делителей. Переходя к нормам в равенстве (17), получаем 



что и доказывает теорему. 



§11. Обозначая вообще через ф (т) число решений уравнения 



іѵ^ = — ш, 



или, что одно п то же, число представлений т сушшй трех квадратов, обра- 

 тимся к выводу соотношения между '^) (т) и ф (іЛ^т), где (і, т — данные це- 

 лые числа. 



Рассмотрим снача.іа случай, когда сі — простое число. Если с? = 2, то, 

 очевидно 



ф(4ш) = ф(ш) 



и можно предполагать поэтому, что <і равно нечетному простому числу г. 

 Мы должны, таким образом, найти связь между числом решений X уравнения 



и = — г^т (18) 



и числом решений К уравнения: 



Ж2 = — ш (19). 



Если Ь делится на г, то Ь = гК, где К корень уравнения (19). 

 Если же Ь не делится на г, то, полагая Ь = р-Мр^, где р, — кватернионы 

 нормы г, находим 



I = р = — рЖр„ 



ИРАН 1922. 



