— 232 — 



откуда вытекает, что = ер , Же = — Ж, так что 



где К — корень уравнения (19). 



Из сказанного выводим прежде всего, что, если = О, то для вся- 

 кого простого числа г ф {гЧі) = 0, а следовательно для всякого целого 

 числа ^ = — замечание, которым мы в дальнейшем воспользуемся. 



Рассмотрим теперь три случая. 



I. = — 1. В этом случае, каков бы ни был корень К уравне- 



ния (19) и кватернион р нормы»-, выражение рКр представляет корень урав- 

 нения (18), не делящийся на г. 



Далее, если рКр = р'К'~р', то р'=:ре, К ==1Кі, где г — единица. 

 Отсюда замечаем, что если X,, К^, . . . суть все различные корни урав- 

 нения (19) и Рі,' Р2, . . . р^_^і — все кватернионы нормы г, не связанные 

 уравнением р' = ре, то в таблицу 



гК^. гК^, . . . гК^ 



Рѵ-^іРѵ Рѵ^йРѵ» • • • Рѵ^*?ѵ' V = 1, 2, ... Г Н- 1 



входит каждое решение уравнения (18) и каждое по одному разу. Следова- 

 тельно, когда — т есть квадратичный невычет г, 



^{г^т) = (г -н 2)ф(ш) (20). 



П. = -н 1. Заметим сначала, что равенство 



гК = Кг, 



где іК" корень уравнения (19), а е — единица, отличная от ± 1 , возможно 

 лишь в случаях т = или т == Зз^ и при К делящемся на 5. Действи- 

 тельно, полагая 



К = А{хі -+- УЗ гТі), т = Д^ш'; ж" -♦- г/^ -+- = ж', 

 где X, у, я не имеют общего делителя, находим 



а -+- &Д {хъ ч- У) -+- вЩ 



е = ) 



с 



где целые числа а, Ъ, с не имеют общего делителя и 



