— 236 — 



где К — корень уравнения (19) делится на г тогда н только тогда, когда 

 К делится справа на р. Пусть 



К,, К,, ...К, (22) 



все корни уравнения (1 9), не делящиеся на г и не связанные уравнением 

 вида К = У]", где ѵ] — единица. Число этих кватернионов 



12 



Заметим, что это справедливо и в случаях т = в^, т = дз^, если только 

 во втором из этих случаев г делит 5, потому что тогда корень уравнения 

 = — т, не делящийся на г, не делится п на 5. Каждый из кватернио- 

 нов (22) делится справа на один определенный кватернион нормы г ; мы по- 

 ложим = ^^^^'рр^ (іі. = 1 , 2, ... і). Обозначим через 



Рц' Р(і ' • • • 



все простые кватернионы нормы г. не связанные уравнением р^''^ = ± р|^^ 

 и отличные от у)р^ (у] — единица). Число их равно 1 2г. В таблицу 



рі^^кр.. ріЛр^' • - и- = ь 2,. . . ^ 



войдут все корни уравнения (18), не делящиеся на г и каясдый по одному 

 разу. Поэтому, при т делящемся на г 



ф(г»ш) = ф(ш)ч- ^'''^ 12г^ (г-н 1)ф(ш)-гф (^^) (23). 



-2 ) надо заменить нулем 



если т не делится на г^. 



Остается еще рассмотреть случай т = дз^ и 5 не делится на г, так что 

 7 = д. Число решений уравнения Ѵ = — 275^, делящихся на 3 или на 5 

 равно ф(27) -I- ф(35^) — ф(3). Что же каса,ется решений, не делящихся ни 

 на 3, ни на 8, то поступая с ними так же, как и в предыдуіцпх случаях, без 

 труда найдем: 



4(278»)= ф(27) -ь ф(382) — ф (3) -4- 36 = Щдз^І 



так что Формула (23) справедлива и в этом сіучае. 



