— 237 — 



Пусть п целое число, а г нечетное простое число. Полояіим и = г^^'т, 

 где т не делится на г^. Тогда іірп помощи Формул (20), (21) и (23) находим 



ф (п) = ^ ^ - ф [т), если т делится на г. 



ф(п) = г^ч{;(т), если (^— = Ь 



ФИ = — ^ггГі — И^)' если (^-^^ = — 1. 



Отсюда окончательно получаем: 

 Пусть 



2ѵ 2р. 



п = Пр П^ . т 



произвольное целое число, р, ^ — различные нечетные простые числа и 



т = Щ или 2П2, 



Обозначим через р' те из простых чисел р, для коупорых — т квадра- 

 тичный вычет, через р' — те, для которых — ш квадратичный невычет, 

 так что 



2ѵ ,2ѵ' „2ѵ" 



Пр =ир' пр" 



Тогда 



Нам остается определить значение Функции ф(ш) для таких чисел т, 

 которые не имеют квадратных делителей. 



§ 12. Всякое нечетное число, не имеющее формы 8п -+- 7, а также 

 всякое удвоенное нечетное число есть сумма трех квадратов. 



Пусть т= 1 или 3 (Мой 8). Пользуясь теоремой ПігісЫеі об арифме- 

 тической прогрессии, нетрудно убедиться в существовании простого числа 

 ^ = 5 (Мой 8) и такого, что — 2р есть квадратичный вычет т. Из ра- 

 венства 



т I \ т 



получаем = 1, т. е. т есть квадратичный вычет р. По теореме Ь) 

 § 10 для некоторого положительного показателя к имеем 



т!" = -\- 2ру\ _ (25) 



ИРАРІ 1922. 



