— 238 — 



при чем X, у взаитю-простые числа. Мы будем подразумевать под 1: наи- 

 меньший показатель, обладающий этим свойством и в этом предположении 

 покал^ем, что /.• число нечетаое. В самом деле, при к = 21 мы получим 



н- X иг' — X ^ /у 

 —п — = 2/л ' 



и тар; как числа ■ — - — ; — - — взаимно простые, то возмояшы только два 

 предположения : 



= 8', — ^ = ^рі'; 5^ = I 



или 



Эти предположения дают соответственно 



или 



. = 253 н_ ^,^. 



Первое из этих равенств невозможно потому, что /. = 2/ есть наимень- 

 ший показатель, для которого «г^'' представляется Формой 2ру^; второе 

 певозмояіно потому, что есть вычет, а 2 ; — невычет числа р. 



Итак в равенстве (25) число нечетное; так как^ есть сумма двух 



квадратов (§ 10, 1)) то из (25) видим, что ^ ] ш есть сумма 



трех квадратов. Поэтому и т есть сумма трех квадратов, так как, по заме- 

 ченному в начале предыдущего §, если ф (т) = О, то и ф (*?/') = 0. 



Если т = 5 (Мой 8), то существует простое число (Мой 8) и 



такое, что — р есть вьічет числа т. Отсюда, следует, что т есть вычет 

 числа р. Для некоторого показателя к имеем 



ш'^ = -ч- ру^, 



где X, у взаимно-простые числа. Если наименьший показатель /с^ обладающий 

 этим свойством, был бы четным числом 2ѵ, то при нечетном х мы имели бы 



2 ^ ' 2 



